原创2007年高考数学真题，经典题目，现在依然常考，高中生应该掌握

　　原标题：2007年高考数学真题，经典题目，现在依然常考，高中生应该掌握

　　大家好！本文和大家分享一道2007年的高考数学真题。这道题是2007年天津卷的第20题，综合考查了递推法求数列的通项公式、等比数列求和公式、等差数列求和公式以及分组求和等知识。虽然是十多年前的考题，但是放到现在这道题也是一道常考题，高中生必须要掌握。

　　先看第一小问：证明数列{an-n}是等比数列。

　　要证明数列{an-n}是等比数列，那么就要先将an-n表示出来，然后利用等比数列的定义来判断。题干中告诉了a(n+1)和an两项之间的联系，所以可以强制来构造an-n的形式。需要注意的是，an-n的后一项是a(n+1)-(n+1)，而不是a(n+1)-n，很多同学就是把这一点搞错了，从而导致解不出来。整理后可以得到，a(n+1)-(n+1)=4(an-n)。又根据题意可得，a1-1=1，从而证明出结论。

　　这一问考查的是递推法求数列通项公式，题目已经告诉了递推后的形式，实际上也就降低了题目的难度。但是，现在的高中生还要掌握在没有告诉递推后形式的情况下求解数列an的通项公式。

　　题干中告诉了两项之间的联系，此时我们通常采用构造法来求通项公式。由于an后面跟上的是关于n的一次函数的形式，所以a(n+1)后面也要跟关于(n+1)的一次函数的形式。具体解法见下图。

　　再看第二小问：求Sn。

　　要求数列{an}的前n项和，那么需要先求出其通项公式。由第一小问可知，数列{an-n}是以1为首项、4为公比的等比数列，所以先求出an-n的通项公式，即an-n=4^(n-1)。所以an=4^(n-1)+n。观察an的通项公式可以发现，an可以看成是一个等比数列与一个等差数列的和构成，所以此时可以用分组求和的方法来求an的前n项和。即分别求出等比数列的前n项和及等差数列的前n项和，然后再相加就得到数列an的前n项和。

　　最后看第三小问：证明S(n+1)≤4Sn。

　　作差法是比较大小的重要方法，本问就可以采用作差法来处理。

　　根据第二小问的结论可得，S(n+1)-4Snw[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(n+2)/2-[4^(n+1)-4]/3-2n(n+1)=-(3n^2+n-4)/2。

　　由于函数f(x)=3x^2+x-4的对称轴为x=-1/6，所以函数在x≥1上是增函数，则f(x)≥f(1)=0。又n为正整数，所以有-(3n^2+n-4)/2≤0，从而结论得证。

　　这道题的难度不大，但是非常经典，对于现在的高中生来说也是必须要牢固掌握的。

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