【竞赛试题】2023年阿里巴巴全球数学竞赛初赛试题

　　原标题：【竞赛试题】2023年阿里巴巴全球数学竞赛初赛试题

　　今年是阿里巴巴第五次举办全球数学竞赛，貌似今年的试题和往年风格有很大不同 ，涉及基础数学的问题只有第5题和第6题，其余均为应用数学或计算数学领域内的试题，就目前情况来看，题目的情景更加多元化，事实上高中生也能理解题目的意思，但解答难度依然很大。下面给出本届赛事的全部试题，题目来自阿里巴巴达摩院 ，比赛结束了就顺便将手敲LaTex版本的试题分享给大家，感兴趣的读者可以继续尝试。

　　

　　2023年阿里巴巴全球数学竞赛初赛试题

　　一、不定项选择题(10分)

　　球状闪电

　　作为一名秘密任务的长官 , 你和首席科学家大宝有如下的谈话 .

　　科学家 : “ 长官 , 我们已经掌握了球状闪电的控制规律 , 我们发现实验室中的球状闪电半径的变化率 满足如下的方程

　　这里 表示球状闪电的半径 , 而 是时间变量 . 初始时刻 , 没有球状闪电 , 即 . 相应地 , 我们也有 . 而 可以被人为控制 , 您可以通过拉动一个控制杆来迅速的改变 的值 . 我们给它的预设值是 . ”

　　你 : “做的漂亮 , 博士 ! 是我们的唯一控制方式吗 ? 这似乎并不能把球状闪电启动起来 . ”

　　科学家 : “ 您说的对 , 长官 . 我们的确有另一个控制方式 , 就是踢一下仪器 . ”

　　你 : “ 博士 , 您没开玩笑吧 ? 踢一下 ? ”

　　科学家 : “ 没错 , 如果踢一下的话 , 的值就会瞬间提高 ( 远小于 ) . ”

　　你 : “ 明白了 , 这的确有帮助 . 我们今天的测试目标是启动球状闪电 , 让它的半径严格超过 , 再让它逐渐完全消失 . ”

　　科学家 : “ 是的 , 长官 , 我们为此设计了四个控制方案 . 请问长官您觉得这些方案如何 ? ”

　　你看了一下这些选项 , 发现其中可行的方案有

　　() .

　　. 设置 , 踢一下仪器 , 等球状闪电半径严格超过 , 再设置 ;

　　. 设置 , 踢一下仪器 , 等球状闪电半径严格超过 , 再设置 ;

　　. 设置 , 踢一下仪器 , 等球状闪电半径严格超过 , 再设置 ;

　　. 设置 , 踢一下仪器 , 等球状闪电半径严格超过 , 再设置 ;

　　二、不定项选择题(10分)

　　设两个凸八面体 的每个面都是三角形 , 且 在 的内部 . 记 的棱长之和为 . 当我们计算 时 , 可能得到以下哪个(些)值 ?

　　()

　　.

　　.

　　.

　　.

　　.

　　三、不定项选择题(10分)

　　与 二人进行 “ 抽鬼牌 ” 游戏 . 游戏开始时 , 手中有 张两两不同的牌 . 手上有 张牌 , 其中 张牌与 手中的牌相同 , 另一张为 “ 鬼牌 ” , 与其他所有牌都不同 . 游戏规则为 :

　　i) 双方交替从对方手中抽取一张牌 , 先从 手中抽取 .

　　ii) 若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致 , 则将两张牌丢弃 .

　　iii) 最后剩一张牌(鬼牌)时 , 持有鬼牌的玩家为输家 .

　　假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同 , 请问下列 中哪个 使 的胜率最大 ?

　　()

　　.

　　.

　　.

　　.

　　. 对所有的 , 的胜率都一样

　　四、不定项选择题(10分)

　　某个城市有 条东西向的公路和 条南北向的公路 , 共交于 个路口 , 小明从某个路口驾车出发 , 经过每个路口恰一次 , 最后回到出发点 . 在经过每个路口时 , 向右转不需要等待，直行需要等待1分钟 , 向左转需要等待2分钟 . 设小明在路口等待总时间的最小可能值是 分钟 , 则 ()

　　.

　　.

　　.

　　.

　　.

　　五、证明题(20分)

　　设 是给定正整数 . 考虑 矩阵 ( 或者 ) 的集合 .

　　(1) 证明 : 存在这样的 满足 .

　　(2) 若 , 证明 .

　　(3) 若 , 证明存在 使得 .

　　六、解答题(20分)

　　对实数 , 用 表示 和最近的整数的距离 : .

　　(1) 试问是否存在非零实数 , 满足 ?

　　(1) 试问是否存在非零实数 , 满足 ?

　　七、解答题(20分)

　　某公司要招聘一名员工 , 有 人报名面试 . 假设 位报名者所具有该职位相关的能力值两两不同 , 且招聘委员会能观察到的能力值排名与其真实能力值排名吻合 . 委员会决定采取如下招聘程序 :

　　1.招聘委员会按随机顺序逐个面试候选人 , 且他们能观察到当时所见候选人的相对排名 . 比如委员会面试到第 位候选人时 , 他们拥有的信息是前 位面试者的相对排名 , 但不知后 位候选人的能力情况 .

　　2.每面试完一位候选人 , 委员会需当即决定是否给他/她发工作 offer .

　　3.如果委员会决定给某位候选者发 offer , 那么这位候选者以概率 接受 , 以概率 拒绝 , 且独立于(之前)所有其他面试者的决定 . 如果该候选人接受 offer , 那么委员会将不再继续面试接下去的候选人 . 如果该候选人拒绝 offer , 那么委员会将继续面试下一位 .

　　4.如果委员会决定不给某位面试者发 offer , 那么他们将继续面试下一位候选人 , 且不能再回头去找前面已经面试过的人 .

　　5.反复该面试程序 , 直到有候选者接受 offer . 如果没有候选者接收该工作 , 那么委员会面试完所有的 位候选者 .

　　由于 位面试者的顺序是完全随机的 , 因此他们能力的排名在 的可能性中是均匀分布 . 且委员会所具有的全部信息是当前面试过的候选人的相对排名 . 委员会的任务是 , 在遵守如上程序的前提下 , 找到一个策略 , 使得招到 位候选者中能力最优者的概率最大化 .

　　问题如下:

　　(a) 考虑如下策略 . 委员会先面试前 位候选者 , 不管其能力排名如何 , 都不发工作 offer . 从第 位开始 , 一旦看到能力在所面试过候选人中的最优者 , 即发工作 offer . 如对方拒绝 , 则继续面试直到下一位当前最优者出现 . 试证明 : 对于任意的 ，都存在一个 , 使得依靠上述策略找到(所有 位候选人中)最优者的概率值 , 在所有可能的策略所给出的概率值中是最大的 .

　　(b) 假设 . 当 , 求 的极限 .

　　(c) 对一般的 , 当 , 求的极限 .

　　八、开放题(不计分)

　　请用数学的方式讲述你和数学的故事 :

　　(1) 可以是函数、公式、图形等一切你能想到的数学方式 ;

　　(2) 用文字补充说明(建议不超过300字) .

　　

　　编辑：洋洋老师

　　审核：杨鹏程

　　复核：孙天明

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