八下数学：分式加减乘除混合运算经典题解析附拓展训练题及答案

　　例1、已知a^2-4a+4与丨b-3丨互为相反数，求式子（a/b-b/a）÷（a+b）的值。

　　分析：互为相反数的两个数和为0，很明显式子a^2-4a+4=（a-2）2是完全平方数，由非负性可解得a，b的值；而所求的式子可通过分式运算进行化简后代入a，b的值即可求出。

　　解：由题意得

　　a^2-4a+4+丨b-3丨=0，即（a-2）^2+|b-3|=0，

　　解得a=2，b=3。

　　原式=（a/b-b/a）÷（a+b）

　　=（a^2-b^2）/ab÷（a+b）

　　=（a-b）/ab

　　=（2-3）/2×3

　　=-1/6。

　　例2、已知√（a-1）+（ab-2）^2=0，求代数式1/ab+1/（a+1）（b+1）+…+1/（a+2019）（b+2019）的值。

　　分析：由非负性可求得a=1，b=2，代入所求的式子有1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021，利用裂项公式即可求出。

　　解：由非负性可得a=1，b=2。

　　原式=1/1×2十1/2×3十…十1/2020×2021

　　=1-1/2十1/2一1/3十…十1/2020一1/2021

　　=1一1/2021

　　=2020/2021

　　例3、要使分式（a+3）/（a-3）÷（a+2）/（a-4）有意义，求a应满足的条件。

　　分析：要使分式有意义，则分式的分母不能为0，即构成该分式的每一小组成部分的分式的分母均不能等于0。

　　所以a-3≠0，a-4≠0，（a+2）/（a-4）≠0，

　　当a≠3且a≠4且a≠-2时，该分式有意义。

　　例4、已知a+b+c=0，求式子a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）的值。

　　解：原式=a/b十a/c十b/a十b/c十c/a十c/b

　　=（a/b十c/b）+（a/c十b/c）+（b/a十c/a）

　　=（a+c）/b十（a+b）/c十（b十c）/a；

　　∵a+b+c=0，

　　∴原式=-b/b十（-c/c）十（-a/a）

　　=-1-1-1

　　=-3。

　　例5、已知（b+c-a）/（a+b+c）=（c+a-b）/（b+c-a）=（a+b-c）/（c+a-b）=m，求：

　　m+m^2+m^3的值。

　　解：m^2=（b+c-a）/（a+b+c）×（c+a-b）/（b+c-a）=（c+a-b）/（a+b+c）；

　　m^3=m^2×（a+b-c）/（c+a-b）

　　=（c+a-b）/（a+b+c）×（a+b-c）/（c+a-b）

　　=（a+b-c）/（a+b+c）；

　　∴m+m^2+m^3

　　=（b+c-a）/（a+b+c）十（c+a-b）/（a+b+c）十（a+b-c）/（a+b+c）

　　=（b+c-a+c+a-b+a+b-c）/（a+b+c）

　　=（a+b+c）/（a+b+c）

　　=1。

　　例6、已知abc=1，求关于X的方程：

　　X/（1+a+ab）+X/（1+b+bc）+X/（1+c+ca）=2020的解。

　　解：∵abc=1，

　　∴1/（1+a+ab）

　　=1/（abc+a+ab）

　　=1/a（1+b+bc）

　　=bc/（1+b+bc）；

　　1/（1+c+ca）

　　=1/（abc+c+ca）

　　=1/c（1+a+ab）

　　=1/ac（1+b+bc）

　　=b/（1+b+bc）；

　　∴1/（1+a+ab）+1/（1+b+bc）+1/（1+c+ca）

　　=bc/（1+b+bc）十1/（1+b+bc）十b/（1+b+bc）

　　=（bc+1+b）/（1+b+bc）

　　=1。

　　∴原方程的解X=2020。

　　例7、已知a+1/b=b+1/c=c+1/a，a≠b≠c，

　　求：a^2b^2c^2的值。

　　解：∵a+1/b=b+1/c，

　　∴a-b=1/c-1/b=（b-c）/bc，

　　∴bc=（b-c）/（a-b）；

　　同理可得：

　　ac=（c-a）/（b-c），ab=（a-b）/（c-a）；

　　∴a^2b^2c^2

　　=bcacab

　　=（b-c）/（a-b）×（c-a）/（b-c）×（a-b）/（c-a）=1。

　　例8、已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，求代数式：（a^2+b^2+c^2）/（ab+bc+2ac）的值。

　　分析：已知条件三个未知数两个方程，所以我们无法直接求出a，b，c的值，但我们可以用其中的一个字母来表示其余的两个字母。

　　3a-4b-c=0①，2a+b-8c=0②，

　　②×4+①得11a-33c=0，所以a=3c，b=2c。

　　原=（9c^2+4c^2+c^2）/（6c^2+2c^2+6c^2）

　　=1。

　　[拓展训练题]

　　1、已知分式（X-a）÷（1/X一a）<a≠0>有意义，那么X应满足什么样的条件？

　　2、已知实数a，b满足丨2a-b+1丨+√（3a-2b+4）=0，求代数式1-（a-b）/（a-2b）÷（a^2-b^2）/（a^2-4ab+4b^2）的值。

　　3、已知1/a一1/b=1，求代数式：

　　（a+ab-b）/（a-2ab-b）的值。

　　4、化简求值：已知a^2-1=0，求下面代数式：

　　（a-1）/a÷[a-（2a-1）/a]的值。

　　5、已知abc≠0，且a+b+c=0，求代数式：

　　a^2/bc十b^2/ac十c^2/ab的值。

　　6、若a+3b=0，求代数式：

　　[1-b/（a+2b）]÷（a^2+2ab+b^2）/（a^2-4b^2）的值。

　　7、已知a≠b≠c，且a，b，c满足：

　　（a+b）/（a-b）=（b+c）/2（b-c）=（c+a）/3（c-a），求代数式8a+9b+5c的值。

　　8、已知abcd=1，求代数式：

　　1/（1+a+ab+abc）十1/（1+b+bc+bcd）十1/（1+c+cd+cda）十1/（1+d+da+dab）的值。

　　[参考答案]

　　1、X≠0且X≠1/a；

　　2、15/7；

　　3、0；

　　4、-1/2；

　　5、3；

　　6、5/8；

　　7、0；

　　8、1。

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