中考数学压轴题分析：圆与双角平分线

　　本文内容选自2021年永州中考数学几何压轴题。题目以圆为背景，考查相似等知识。本题涉及三角形的双角平分线，难度不大。

　　【中考真题】

　　（2021?永州）如图1，

　　是

　　的直径，点

　　是

　　上一动点，且不与

　　，

　　两点重合，

　　的平分线交

　　于点

　　，过点

　　作

　　，交

　　的延长线于点

　　．

　　

　　（1）求证：

　　是

　　的切线；

　　（2）求证：

　　；

　　（3）如图2，原有条件不变，连接

　　，

　　，延长

　　至点

　　，

　　的平分线交

　　的延长线于点

　　，

　　的平分线交

　　的平分线于点

　　．求证：无论点

　　如何运动，总有

　　．

　　【分析】

　　（1）有交点连圆心，证垂直。根据角平分线+等腰可以得到OC与AD平行，都垂直于CD，结论易得。属于常考题。

　　（2）2AO可以转化为AB，那么只需连接BC即可。易得△ADC∽△ACB，那么就可以根据比例得到结论。

　　（3）本题考查三角形的双角平分线的性质，难度不大。

　　如下图：若一个三角形的内角与外角平分线交于一点，那么易得∠P=1/2∠A。

　　

　　根据上面的模型，大家可以证明∠P=1/2∠AEB，∠Q=1/2∠ACB。

　　而∠AEB=∠ACB=90°。

　　【答案】证明：（1）连接

　　，

　　，

　　，

　　，

　　平分

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　是

　　的切线．

　　

　　（2）连接

　　，

　　平分

　　，

　　，

　　是

　　的直径，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　．

　　（3）

　　、

　　的角平分线交于点

　　，

　　，

　　，

　　是

　　的一个外角，

　　是

　　的一个外角，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　，

　　同理可证：

　　，

　　．