一个不等式在高考数学中能有多重要，2022新高考全国卷2压轴题

　　2022年新高考数学全国卷2的压轴题，一共有三个小问题，出题人似乎出现了精神分裂，最后一个小题和前两个小题完全没有关联。而且最后一小题只要掌握了一个不等式，就可能秒解，如果掌握不了这个不等式，那可就有难了哦。

　　已知函数f(x)=xe^(ax)-e^x.

　　(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

　　(2)当x>0时，f(x)<-1, 求实数a的取值范围；

　　(3)设n∈N*, 证明：1/根号(1^2+1)+1/根号(2^2+2)+…+1/根号(n^2+n)>ln(n+1).

　　

　　分析：(1)第一小题是送分题，自不必多说。将a=1代入f(x)的解析式，求导就可以分析它的单调性了。

　　(2)第二小题有两个要点：

　　①至少要求三次导数，否则几乎不可能解得出来。平时练习这类压轴题，就朝着这个方向去努力就对了；

　　②把自己的脑子当作一个雷达，快速全方位扫描a可能的取值范围，并做出判断。关键是扫描几个关键点，如a=0, a=1这些位置。现在这类压轴题，就喜欢考这个。他给你的是一道解答题，但你却几乎一定要把它当做一道证明题去解决。关键就是找出a的取值范围的界点。

　　(3)刚才说过了，关键是要知道一个并不十分常用的不等式。有可能需要做出相应的证明，但老黄觉得直接运用就可以了。

　　解：(1)当a=1时, f’(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x.

　　当x>0时，f’(x)>0，f(x)单调增；当x<0时，f’(x)<0，f(x)单调减.

　　当x=0时，f’(x)=0，f(0)=-1是f(x)的极小值. 【这一步可以不要，但老黄觉得这样才全面，所以就写上了。而且它对第二小题有一定的启发作用】

　　图像仅供参考

　　(2)记g(a)=xe^(ax)-ex, 则g’(a)=x^2e^(ax), 【老黄喜欢这种思维转换带来的快感】

　　当x>0时，g’(a)>0, g(a)单调增.

　　当a=0, 且x>0时, f(x)=x-ex<x-(x+1)= -1. 即当a≤0时，成立.

　　当a=1, 且x=1时, f(x)=0>-1. 即a<1. 【上面检验成立，下面检验不成立，这是一种思维的冲击。人的思维容易在这种冲击下产生进步。可见a的取值范围就在[0,1)上】

　　f’(x)=((1+ax)e^[(a-1)x]-1)e^x, 当且仅当f’(x)<0时，有f(x)<f(0)=-1, 【所以我们要保证f'(x)<0，这是解决这道题的关键点，换句话说，f'(x)<0是f(x)<-1的充要条件。即在x>0时，f(x)是严格单调减的】

　　这是当a=1/3时的图像

　　记h(x)=(1+ax)e^[(a-1)x]-1, 则h’(x)=(2a-1+a^2x-ax)e^[(a-1)x],【这种变着法子求二阶导数的题目设计，是出题人对自己超纲出题的一种自我安慰，现在很流行哦！】

　　记p(x)=2a-1+a^2x-ax, 则p’(x)=a^2-a<0, p(x)单调减, 所以p(x)<p(0)=2a-1.【二阶还不够，他还要求三阶导数。】

　　若a>1/2，则存在p(x)≥0, 即存在h’(x)≥0,

　　此时,h(x)单调增, h(x)≥h(0)=0, f’(x)≥0, 矛盾！【用检验反证a≤1/2】

　　这是当a=2/3时的图像

　　若a≤1/2，则存在p(x)<0, h’(x)<0, 此时,h(x)单调减, h(x)<h(0)=0, f’(x)<0.

　　所以a≤1/2.

　　

　　(3)因为1/根号(n^2+n)>ln((n+1)/n),【即连续的两个非零自然数的积的倒数的算术平方根大于它们的商的自然对数】

　　所以1/根号(1^2+1)+1/根号(2^2+2)+…+1/根号(n^2+n)>ln2+ln(3/2)+…+ln((n+1)/n)=ln(n+1), 得证！【中间省略了一步：对数和等于积的对数】

　　

　　这个不等式如果想要证明，还真没有那么容易，特别是在高考的考场上，就更不容易了。对于考生来说，最实惠的办法，就是记住它。如果要证明，就还要涉及另一个重要的不等式：t-1/t>2lnt (t>1).

　　然后令t=根号(1+1/n)，则根号(1+1/n)-1/根号(1+1/n)>2ln根号(1+1/n), 化简就可以得到上面的不等式了。

　　对这道题，大家有什么看法，不妨畅所欲言。

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