1955年高考数学真题,全班50人无一人做对,其实一个定理即可搞定
大家好!本文和大家分享一道1955年高考数学真题。1955年高考数学试卷共五道大题,其中第一大题包括了四道小题,也就是全卷只有八道题,不过这八道题都是解答题,没有选择题和填空题。本文分享的这道题是试卷的第二大题,考查的是多项式的计算,全班50人没有一人做对,其实只需要一个定理就可以搞定。
先看一下题目,让我们求同时满足三个条件的给定的三次四项式的系数b、c、d。三个未知数需要三个方程才能解出来,题干中刚好有三个条件。如果能够将这三个条件转化为三个方程,那么只需要解出所得到的三元一次方程组即可。接下来的关键就是怎么将这三个条件转化成三个方程呢?
这儿就需要用到一个定理:整式除法的余数定理。
如果一个多项式为f(x),f(x)除以(x-a)的商式为p(x),余数为r,那么f(x)=(x-a)·p(x)+r。当x=a时,f(a)=(a-a)·p(x)+r=r,也就是说多项式f(x)除以(x-a)得到的余数就等于f(a),这就是余数定理。
特别地,当f(a)=0时,多项式f(x)就能被(x-a)整除,即(x-a)为多项式f(x)的一个因式,此时又称为因式定理。
有了上面的知识储备,再来看这道题就很简单了。
由于多项式f(x)=x^3+bx^2+cx+d能被(x-1)整除,所以f(1)=0,即1+b+c+d=0①。
由于多项式被(x-3)除余2,所以f(3)=2,即27+9b+3c+d=2②。
又因为多项式被(x+2)和(x-2)除时余数相等,所以有f(-2)=f(2),即-8+4b-2c+d=8+4b+2c+d③。
联立方程①②③就构成了一个关于b、c、d的三元一次方程组,解出这个方程组即可得到答案。
由方程③可以得到,c=-4,然后代入①和②,得到b+d=3和9b+d=-13这个二元一次方程组,从而解得b=-4,d=5。
当然,并不是说不知道余数定理就不能做这道题,我们还可以用整式的除法来计算。怎么算呢?
我们以第二个条件为例。原多项式除以(x-3)余2,那么我们就直接将两个式子相除,求出其余数部分,那么余数部分就等于2。比如第二个条件求出的余数为d+3[c+3(b+3)]=2,整理后得到27+9b+3c+d=2,也就和直接用余数定理所得到的一致了,只不过过程更加复杂而已。
在不知道余数定理的条件下,本题的难度确实不小,但是如果对整式的除法掌握得比较好的同学来说,这道题放在现在也就是一道初中水平的题目。那么,你会做这道题吗?
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