2021年江西中考数学的填空压轴题的构造同心圆法

　　今天，我们来看看，2021年江西中考数学卷的填空压轴题，表面上是等边三角形，而实质是隐圆，确切说是用同心圆来确定等边三角形的顶点的位置！

　　要使△DMN为等边三角形，而D为定点，M、N皆为动点，故M、N一定在以点D为圆心的圆上，其半径应不小于D到BE的距离或D到CF的距离，其半径也会不大于D到B的距离或D到F的距离。

　　正六边形有一个显著的特征，即正六边形的中心与正六边形相邻两顶点所组成的三角形为等边三角形。

　　显然，过B、F的同心圆中，B、F、D组成的三角形为等边三角形，其边长为18(边长为整数，符合题意)。

　　(因在△CDF中，CD=OD=6√3，CF=2OD=12√3，而∠FCD=60°，故由勾股定理或三角函数，可得DF=18。)

　　另外，易知△DGH为等边三角形，其边长为9(也符合题意)。

　　还有一种情况，即如下图中△DPQ或△DST所示，其同心圆半径在9和6√3之间即同心圆与OC或OE有两个交点，而6√3<11，故一定存在一个半径为10的同心圆。

　　那么，如何证明△DPQ或△DST为等边三角形呢？

　　我们只须证明，该三角形有一个内角为60°即可，这就要用到三角形全等了。

　　如上图，证明△OTS≌△TDE，因∠SOD=∠TED=60°，OD=ED，SD=TD(半径相等)，故得证，即∠ODS=∠EDT，因此，∠SDT=∠ODE=60°(等量代换)。

　　所以，存在边长为10的等边三角形符合题意。

　　综上所述，本题正确答案为9、10、18。

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