你见过圆内接正多边形的中考压轴题吗?上海中考数学压轴题
这是上海中考数学的一道压轴题。与圆内接正多边形有关,题型还是比较少见的。题目是这样的:
已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E,且OD⊥AC,垂足为点F.
(1)如图1, 如果AC=BD,求弦AC的长;
(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;
(3)联结BC, CD, DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.
很多时候,就算是中考的压轴题第一小题也是送分题,但这道题从第一小题开始,就没有那么容易,至少不算是送分题吧。【】内为注释:
解:(1)连接BC,CD,则BC⊥AC,【因为角ACB是直径AB所对的圆周角,所以是直角】
又OD⊥AC,∴BC//OD.【平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行】
∵AC=BD,∴弧AC=弧BD,【等弦对等劣弧】
∴弧AD=弧BC,【上面两弧同时减去弧CD得到的】
∴∠ABD=∠BAC=∠BDC,【前面是等弧对等角,后面是同弧BC对等角】
∴CD//AB,【内错角相等,两直线平行】
∴BC=OD=AB/2=1,【BC=OD,是因为平行线间的平行线段相等】
在Rt△ABC中,AC=根号(AB^2-BC^2)=根号3.
(2)连接AD,OE,则
这次我们需要连接AD和OE,那么AD//OE, 且AD=2OE,【三角形中位线定理】
三角形AFD相似于三角形EFO,∴OF/DF=OE/AD=1/2,∴DF=2OF,
又OF+DF=OD=AB/2=1, ∴DF=2/3,OF=1/3,
在Rt△AOF中,AF^2=OA^2-OF^2=8/9,
在Rt△ADF中,AD=根号(AF^2+DF^2) =2倍根号3/3,
在Rt△ABD中,BD=根号(AB^2-AD^2)=2倍根号6/3.
【连用三次勾股定理,见证了勾股定理的强大了吗?】
∴cot∠ABD=BD/AD=根号2.
(3)如图:∵OD⊥AC,∴CD=AD,【垂径定理】
∴∠ADO=∠DAO=90度-180度/(n+4), 【利用正n+4边形的内角公式,以及“中心与顶点的连线平分顶角”的定理】
在Rt△ADF中,∠DAF=90度-∠ADO=180度/(n+4),【直角三角形两个锐角互余的定理】
∵∠ACB=90度, ∴BC//OD,
∴∠AOD=∠ABC=90度-180度/n. 【两直线平行,同位角相等】
在Rt△AOF中,∠OAF=90度-∠AOD=180度/n,
由∠OAF+∠DAF=∠DAO, 有
180度/n+180度/(n+4)=90度-180度/(n+4),
解得:n=4.【舍去不合理解n=-2】
AC=BC=AB/根号2=根号2,
OF=BC/2=根号2/2,
DF=OD-OF=1-根号2/2,
S△ACD=DF·AC/2=(根号2-1)/2.
怎么样?你自己做出来了吗?
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