高中数学必修一:函数奇偶性课堂笔记整理,题型全面,学生轻松
根据改版前教材的进度安排,高一学生目前基本学到函数的奇偶性这部分知识了。在学习函数奇偶性之前先学习了函数的单调性,函数单调性是研究函数在定义域的子区间上的增减变化,而函数奇偶性是研究函数图像在整个定义域上的对称关系。函数奇偶性是高中函数的基本性质之一,也是考试的重点,需要同学们牢固掌握。本文和大家分享一份函数奇偶性的常见题型的课堂笔记,供大家参考。
函数奇偶性的题型可以分为两大类:判断函数的奇偶性和函数奇偶性的应用。
判断函数奇偶性包括具体函数和抽象函数奇偶性的判断;函数奇偶性的应用主要有求参数、求函数值等问题。
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已知函数解析式判断其奇偶性是一种常考的题型,这类题目相对比较简单,解题的第一步是求出函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称。如果定义域不关于原点对称,那么一定是非奇非偶函数;如果定义域关于原点对称,那么原函数可能是奇函数、偶函数、非奇非偶函数或者既是奇函数有事偶函数。
二、判断抽象函数的奇偶性
判断抽象函数的奇偶性难度更大,但是题目一般会给出函数定义域不需要再求解。判断抽象函数奇偶性时,如果要证明是奇函数,一般需要先求出f(0);如果需证明是偶函数,一般需求出f(0)或者f(1)和f(-1),再找出f(x)与f(-x)的关系。
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1.求参数的值或取值范围
题目告诉f(x)的奇偶性,根据奇偶性求出函数解析式中的参数,其依据是函数奇偶性的定义:奇函数f(x)=-f(-x),偶函数f(x)=f(-x)。特别地,如果奇函数在原点处有定义,那么必有f(0)=0。用f(0)=0可以简化求解参数过程中的计算,提高解题速度和准确度。
2.解不等式
利用奇偶性解不等式,主要利用函数图像的对称性以及函数的单调性。做这类题时,一般是先画出函数的图像,如果是抽象函数,只要画出满足题意的图像即可,然后再根据图像的特点求解。
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利用奇偶性求函数解析式是求解析式的一种基本方法。如本题,告诉了x>0的解析式,求f(x)在R上的解析式,那么只需求出x≤0的解析式即可。因为是奇函数,则f(0)=0;而当x<0时,-x>0,即可代入x>0的解析式,然后求出f(x)的解析式。
4.求函数值
如果f(x)=x^n且n为奇数,那么f(x)为奇函数,因此就有f(x)+f(-x)=0,这样可以简化整个运算过程,如本例就是运用了这样的性质来达到简化计算的目的。
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