仓里有粮，心中不慌！七年级《有理数》知识汇总

　　仓里有粮，心中不慌！学好数学，必须要抓牢三个“基本”：基本概念要清楚、基本理论要熟悉、基本方法要熟练。针对人教版七年级上册第一章《有理数》，其主要内容可概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

　　其中有理数的概念，可利用数轴来加深理解，使数与直线上的点之间建立了对应关系，从而揭示数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。正如华罗庚教授诗云：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数是难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

　　而有理数的运算是本章的重点。在大型考试中，80%以上的题目是基础题，因此在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，从而避免失分。条理分明，讲解详细，授学生以“鱼”。寄望诸弟子考试时，不会把“鱼”看成“鳕 鲣 鳔 鳔 鳓 鳓 鳗 鳗 鳘 鰵 鳙 鱅 鱇 鳖 鳖 鱂 鳛 鰼 鳚 鱏 鱚 鱝 鳜 鳜 鱓 鳝 鳝 鳟 鳟 鳞 鳞 鲟 鳠 鱯 鳡 鱤 鳢 鳢 鱢 鱠 鱮 ......”

　　1.1正数和负数

　　知识点1 正负数的概念

　　正数：大于零的数叫正数；

　　负数：小于零的数叫负数；

　　0既不是正数也不是负数。

　　注："+"可省略，如+3=3，但"-"不可省略。

　　对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。如-a不一定是负数，+a也不一定是正数。

　　知识点2 正数和负数分别表示相反意义的量。

　　但哪种意义为正，是可以任意选择的，习惯上把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

　　1.2有理数

　　1.2.1有理数

　　知识点1

　　凡能写成分数形式的数，都是有理数，分数和整数统称有理数。

　　注：

　　整数可以看作是分母为1的数，有限小数和无限循环小数都可视为分数。

　　知识点2

　　正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数，整数和分数统称有理数。有理数的分类:

　　注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

　　如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。

　　1.2.2数轴

　　知识点1

　　数轴定义：是规定了原点、正方向和单位长度(数轴的三要素)的一条直线。

　　注：数轴可以向两端无限延伸。

　　知识点2

　　数轴的三要素：原点；正方向；单位长度（注：数轴的三要素缺一不可）

　　注：数轴三要素可根据实际需要“规定”，习惯上取向右为正方向。

　　知识点3

　　数轴的画法：

　　(1) 画一条直线（一般画成水平的直线）。

　　(2) 在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

　　(3) 确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

　　(4) 选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……

　　知识点4

　　数轴上的点与有理数的关系：

　　（1）正数在原点的右侧，负数在原点的左侧

　　（2）在数轴上从左到右数字越来越大

　　（3）a和-a到原点的距离相等

　　1.2.3相反数

　　知识点1

　　定义

　　(1) 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如，4与－4互为相反数。

　　(2) 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0。

　　知识点2

　　相反数的性质：

　　(1)任何一个数都有相反数，而且只有一个。

　　(2)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

　　(3)0是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

　　知识点3

　　相反数的特征：

　　若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）

　　若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数。

　　知识点4

　　相反数在数轴上的特点：

　　（1）分别位于原点的两侧；（2）到原点的距离相等。

　　补充知识：

　　(1)a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是-a+b;a+b的相反数是-a-b;

　　(2)相反数的和为0,即：a+(-a)=0

　　(3)相反数的商为-1.

　　(4)相反数的绝对值相等。

　　附：多重符号的化简

　　(1) 在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

　　(2) 在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－4）就是－4的相反数，因此，－（－4）＝4。

　　1.2.4绝对值

　　知识点1

　　定义

　　绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

　　绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

　　注意:

　　（1）绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

　　（2）|a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性;

　　（3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|

　　附：有理数比大小

　　知识点1

　　比较有理数大小的方法.

　　方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．

　　方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．

　　强调：-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

　　知识点2

　　有理数大小的比较，往往可采用数轴显示法、数性比较法、逐差法、同负绝对值法、倒数法、逐商法、凑整余数法、同母（子）法、赋值法、中间值法等。

　　简记为：

　　比较数大小，数轴显真招；正数比0大，负数比0小；

　　也可互相减，与0来比高；同负绝对值，值大数反小；

　　同号放倒他，扶正反过来好；姓同来相除，与1来比较；

　　分数接近整，凑余比较它；分母或子像，比较另一样；

　　代几特殊值，初步能确定；还是判不了，就把中人找。

　　1.3有理数的加减法

　　1.3.1有理数的加法

　　知识点1

　　相加的两个有理数有以下六种情况：

　　（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

　　法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;

　　(2)异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

　　(3)一个数与0相加，仍得这个数；

　　(4）互为相反数相加得0。

　　知识点2

　　有理数加法运算律:交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

　　口诀：

　　同号相加一边倒；异号相加"大"减"小".

　　符号跟着大的跑，绝对值相等"零"正好.

　　[注]“大”减“小”是指绝对值的大小。

　　1.3.2有理数的减法

　　知识点1

　　有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).

　　知识点2

　　有理数加减法统一成加法的意义：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样就可将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们可把这样的式子叫做代数和。

　　1.4有理数的乘除法

　　1.4.1有理数乘法

　　知识点1

　　法则:

　　(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;

　　(2)任何数与零相乘都得零;

　　(3)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

　　补充知识：

　　倒数:乘积为1的两个数互为倒数。

　　注意:0没有倒数;若ab=1，则a、b互为倒数。

　　知识点2

　　有理数乘法的运算律:

　　(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);

　　(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .(简便运算)

　　1.4.2有理数的除法

　　知识点1

　　法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

　　重点强调:零不能做除数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

　　知识点2

　　在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。

　　1.5有理数的乘方

　　1.5.1乘方

　　知识点1

　　定义:(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;

　　(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;

　　(3)a^2是重要的非负数，即a^2≥0;若a^2+|b|=0,则a=0,b=0;

　　(4)正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0;负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

　　知识点2

　　法则:(1)正数的任何次幂都是正数;

　　(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;

　　知识点3

　　混合运算法则:先乘除，后加减，如果有括号，就先算括号里面的。同级运算中，要按照从左到右的顺序。

　　注意:

　　分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

　　强调：格式中不能省略过程，不能跳过步骤。

　　去括号口决：

　　括号前面是正号，去括号时不变号。

　　括号前面是负号，去括号时要变号。

　　1.5.2科学记数法

　　知识点1

　　其中a取值应为:1≤|a|<10

　　知识点2

　　有效数字：四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

　　1.5.3近似数

　　知识点1

　　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.

　　知识点2

　　出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。

　　小结：知识网络图

　　这里，我想与大家分享一段话：“我不能改变天气，但我可以改变自己的心情；我不能事事如意，但我可以事事尽力。”报答春光知有处，应须美酒送生涯。拼搏在于当下，最好的教学相长绝对不是“教师成长为教师，学生成长为学生”，而是“教师变成学生，学生变成教师”，即教师能够培养出超越自己、让自己都佩服的学生。

　　作家龙应台亦曾经说过，“平庸”是跟别人比，心灵的安适是跟自己比，千山万水走到最后，我们最终的负责对象，还是自己二字。“桃李不言，下自成蹊”，走自己的路，让他人说去。以写作为媒，与自己对话，愿君阅尽千帆，仍保留初心。

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