1993年高考数学真题，高一同学说简单，但错误率超80％，什么原因

　　大家好！本文和大家分享一道1993年高考数学真题。这道题是当年高考全国卷理工农医类数学卷的第一道解答题，是一道解对数不等式的基础题目。对数是高一学习的知识，现在不少高一学生看到这道题后都说简单，但是真做起来错误率却超过80％，这又是什么原因呢？

　　

　　解对数不等式，如果对数的底数不相同，一般先化为同底数的对数，这就需要用到对数的运算性质。简单来说就是底数的指数可以提到对数符号即log的前面，但是作为分母，而真数的指数同样可以提到对数符号的前面，不过此时作分子。

　　掌握了这一点后，不少同学就快速解出了这个不等式，过程如下图：

　　

　　如果只看结果，上图是正确的，但是过程却存在很大的问题。我们先来看一下正确解答过程。

　　同样先将原不等式进行变形，然后再就可以得到一个不等式组：5-x＞0，1/x＞0且4/x(5-x)＞1。然后分别解出这三个不等式，即x＜5，x＞0且0＜x＜1或4＜x＜5，最终得到原不等式的解集就是：(0,1)∪(4,5)。

　　需要注意的是，对最后一个分式不等式的求解要细心，不要出错。

　　

　　上面两个解答过程得到的结果是一样的，那么为什么说第一个解答过程是错的呢？

　　我们观察两个解答过程，第二个解答过程多了两个限制条件，即5-x＞0和1/x＞0。这两个限制条件在对数的加减运算中是必不可少的，因为根据对数的定义，对数的真数一定是正数。如果没有这两个限制条件，那么当5-x＜0且1/x＜0时，他们的乘积仍然为正数，从而导致结果出错。

　　对于这道题，两个解答过程得到了相同的答案，只能说这是一个巧合。比如我们解下面这个不等式：lg(2-x)+lg(2x-5)＞0。

　　

　　上图就是按照第一种解答过程求解得到的答案，即原不等式的解集为(3/2,3)。但是，这个答案正确吗？明显就不正确了。我们可以简单的检验一下，当x=5/2时，2-x=2-5/2=-1/2为负数了，明显不满足对数真数为正数的要求。所以在对数的加减计算前一定要保证每个对数的真数都是正数。

　　接下来看一下正确的解答过程。

　　由原不等式可以得到一个方程组：2-x＞0，2x-5＞0且(2-x)(2x-5)＞1，分别解出这三个不等式，即x＜2，x＞5/2，3/2＜x＜3。很明显，该不等式没有解，即解集为空集。

　　

　　很多同学在进行对数的运算时，往往容易忽略真数大于零这一限制条件，从而导致题目出错，就像前面的两道题一样，说实话还是非常可惜的。其实，这些题的难度不大，但是考查了同学们对基础知识的掌握程度和解题的细心程度，大家一定要注意，不要在简单题上丢分。

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