中考数学常见规律题的题型分类及解题策略

　　规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律。这类较为新颖的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点。

　　本文

　　选择了南宁市、柳州市和桂林市这三所城市近十年(2010年～2019年)中考数学试题中出现的规律探索题进行分析与统计。

　　在分析中发现一份中考试题中最多会设置一道此类题目，并且位于填空题，经常作为填空题的压轴题出现。

　　该类题目较频繁地出现于南宁市和桂林市的考题中，而在柳州市的考题中则很少出现。

　　根据对这三个城市近十年中考题中规律探索型题目类型的分析，可发现从题目的表面特征上来看，有些是数与式变化的问题，有些是图形变化的问题，还有些是图表变化的问题，但实际上图形类和图表类变化问题的本质还是数字或式子的规律变化问题。因此本文将这三个城市十年中考中出现的规律探索题按照数与式变化规律的主要类型分为递进变化规律类和循环变化规律类两大类题型，具体的分类与统计结果如下表所示：

　　接下来将结合具体题目对规律题探索类问题的题型及对应的解题策略进行讨论和分析。

　　一、 递进变化规律

　　递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律(递增或递减)排列的数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的一般规律。学生很容易看出题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个统一的表达式来表示变化的一般规律，而变化的一般规律常常与已知量的排列序号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中的排列顺序给已知量编上序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之间的数量关系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回表达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出最终结果。

　　(一)数与式的递进变化规律

　　这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式或代数式等，要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

　　例1 (2010南宁)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性。若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a2-a1,a3-a2,a4-a3，…，由此推算，a100-a99= ,a100= .

　　分析：

　　观察a2-a1,a3-a2,a4-a3,…所得结果与下标的关系，可发现an-an-1=n，从而得出a100-99的结果。根据这样的规律可推出an=an-1+n，分析a1,a2,a3,a4…的表达式可得出an有着自然数连续增长的规律，因此可运用连续自然数的求和公式

　　进行求解。

　　解答：∵a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4……

　　∴an-an-1=n,∴a100-a99=100。

　　∵an-an-1=n,∴an=an-1+n。

　　∴a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4，…

　　(二)图形变化中的数量递进变化规律

　　与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案的个数、图形的周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要仔细观察并找出图形变化与不变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的规律，找出不变部分的固定数量，分析变化部分的数量与对应的图形排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

　　例2 (2012年桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 。

　　分析：本题考查了按照某种特定顺序的递进变化规律。观察图案的逐个变化规律，找出图案变化中变与不变的部分并探索变化部分的规律，根据图中变与不变的部分列出前几个图中阴影个数的算式，寻找算式中变化部分与对应图案序号之间的数量关系，从而求出一般规律的表达式。

　　解答：每个图形的阴影部分都由上面数量会变化的矩形和下面数量固定的矩形构成。

　　图1阴影个数：1×2+2

　　图2阴影个数：2×3+2

　　图3阴影个数：3×4+2

　　……

　　图n阴影个数：n(n+1)+2

　　∴第n个图中阴影部分小正方形的个数是n2+n+2

　　例3 (2012年南宁)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形。如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 。

　　分析：本题考查了等差变化的规律。观察图案的生长变化过程，列出纸片数与对应图形的周长，可发现纸片数为奇数和偶数时，周长的增长都分别有着等差的变化规律，因此要分纸片数为奇数和偶数两种情况进行讨论。分析两种不同情况中纸片数与对应图形周长之间的数量关系，得出周长变化的一般规律。

　　解答：根据所给的图案可知，当纸片数为5时，图形的周长为2×10=20。

　　设纸片数为n，

　　当n=1时，周长为8=3×1+5

　　当n=2时，周长为8+2=3×2+4

　　当n=3时，周长为8+2+4=3×3+5

　　当n=4时，周长为8+2+4+2=3×4+4

　　当n=5时，周长为8+2+4+2+4=3×5+5

　　……

　　∴当n为奇数时，周长为3n+5；当n为偶数时，周长为3n+4

　　综上，组成的大平行四边形或梯形的周长是3n+5或3n+4。

　　例4 (2011年南宁)如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1。过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作法进行下去，则ACn= 。

　　分析：本题考查了按照某种特定顺序的递进变化规律。在较复杂几何图形的变化中，运用相关的几何知识求出AC1,AC2,AC3…的长度，观察这些数值的变化规律，找出数值中变与不变的部分，并分析变化的部分与C的下标的数量关系，从而得出ACn的表达式。

　　解答：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

　　∵CC1⊥AB于C1，∴△AC1C∽△ACB

　　∵C1C2⊥AC,C2C3⊥AB,

　　∴同理，

　　∴观察AC1,AC2,AC3……的规律可得出

　　(三)图表中的数字递进变化规律

　　这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每行、每列中的数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，此外还应观察图表中的数与它所处的列数和行数间的数量变化规律。

　　例5 (2018年桂林)将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为(3，2)，自然数15记为(4，2)…按此规律，自然数2018记为 。

　　分析：观察表格中的数据可知每行有4个数，并且奇数行和偶数行的数字有着不同的排列方式，根据这些规律可计算出2018所在的行数和列数。找出奇数行和偶数行的数字排列顺序是解决本题的关键。

　　解答：表格中每行有4个数，其中奇数行的数字从左往右按由小到大的顺序排列；偶数行的数字从左往右按由大到小的顺序排列。

　　∵2018÷4=504……2，504+1=505

　　∴2018在第505行

　　∵奇数行的数字从左往右按由小到大的顺序排列

　　∴自然数2018记为(505，2)。

　　二、 循环变化规律

　　循环类规律题中的数、式、图形或坐标等内容的变化中有着循环规律，它们有着一定的排列顺序和固定的循环周期，并根据特定的循环周期间隔出现。解决此类问题首先应发现题目中的循环规律并找出循环周期，明确循环周期中的量的个数和变化规律，然后根据实际问题求出循环周期的个数及余数，最后结合题目的要求和所得数据解出答案。

　　(一)数与式的循环变化规律

　　这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字或代数式。计算并观察题目规律中前若干项的结果，当发现这些数字或代数式存在循环规律时，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数是解决此类问题的关键。

　　例6 (2018年南宁)观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 。

　　分析：题目要求30+31+32+…+32018的结果的个位数字，首先要观察30，31，32，33，34，35，…个位数字的变化规律，找出个位数字的循环周期。接着计算一个循环周期中的所有数之和的个位数，然后再算出30+31+32+…+32018中会经历多少个循环周期，余数是多少，进而求出题目的结果。本题主要考查了数字变化规律中的尾数变化特征，找出尾数变化的循环规律是解题的突破点。

　　解答：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，

　　∴个位数1，3，9，7这四个数为一个循环

　　∵1+3+9+7=20，∴一个循环中的四个数相加得到的结果个位数是0

　　∵(2018+1)÷4=503……3

　　∴1+3+9=13

　　∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字是3。

　　例7

　　(2011年桂林)若

　　则a2011的值为(用含m的代数式表示)。

　　分析：题目要求a2011的值，就要找出a1,a2,a3,…an的变化规律。首先根据已知条件，把每一个结果依次代入后面的代数式中，求出a1,a2,a3…的结果。然后观察a1,a2,a3…的变化规律，找出代数式的循环周期，进而计算出a2011经历的循环周期的个数以及余数，求出a2011的值。本题考查了代数式的迭代计算和变化规律，正确计算出a1,a2,a3，…对应的代数式是寻找规律的关键。

　　解答：

　　这三个代数式为一个循环

　　∵2011÷3=670……1

　　∴a2011的值为

　　(二)图形变化中的坐标循环变化规律

　　这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应坐标的数字存在着循环变化的规律。解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和分析某点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数，进而得出要求的坐标。

　　例8 (2017年南宁)如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为 。

　　分析：要求旋转2017次后P点的坐标，应根据旋转的性质求出P点旋转一次、二次、三次……对应的坐标并寻找它们的变化规律。通过观察可发现这些坐标的横坐标存在循环周期，以一个循环周期为单位横坐标也有等差增长的规律，依据这些规律可求出题目答案。本题考查了图形旋转的性质和坐标变化的规律，找出横坐标和纵坐标的变化规律是解决本题的关键。

　　解答：第一次旋转：P1(5,2)

　　第二次旋转：P2(8,1)

　　第三次旋转：P3(10,1)

　　第四次旋转：P4(13,2)

　　第五次旋转：P5(17,2)

　　……

　　发现P点的纵坐标旋转4次为一个循环。

　　∵2017÷4=504……1

　　∴P2017的纵坐标与P1相同为2。

　　∵P点的初始横坐标为1，旋转1次P点向右移动4个单位长度，旋转4次P点累计向右移动12个单位长度

　　∴P2017的横坐标为1+12×504+4=6053

　　∴连续旋转2017次后P点的坐标为(6053，2)。

　　关于规律探索类问题的分类方式以及解题思路还有很多，本文只总结了一些常见的题型及解题方法。总之，规律探索类问题的题目类型与对应解题策略的研究有助于教师开展更有针对性的专题教学，开拓学生的思维，提高学生的创新能力和问题解决的综合能力，从而使学生掌握此类问题的类型与解法，在平时的训练以及考试中能够更加顺利地攻克难关，增强学生的学习信心。

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