初中数学综合性难题的解题方法，典型例题教你学会，值得收藏细读！

　　写在前面：初中数学学习的过程中会出现哪些问题呢？需要怎么解决呢？今天老师为同学们整理了初中数学学习必然出现的问题解决法，资料宝贵，值得收藏细读！往后是经典例题！

　　第一，学习方法方面的问题。

　　(1)做几何题时候不会做辅助线

　　原因：对于几何模型认识不充分

　　解决方案：每一种基本的几何模型都有定义、性质和判定三方面，要将这三方面知识熟记于心。一般来说应用的过程是：判定是哪种模型→此模型有何性质→此性质能不能直接用→若不能，则作辅助线体现其性质。例如：暑假学的平行四边形模型→对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等。等腰三角形模型→三线合一。倍长中线模型→有三角形一边中点，可以考虑倍长中线构造全等。还有梯形的的三类辅助线，都应该熟记。

　　(2)考虑问题不全面，不会进行分类讨论

　　解决方案：

　　1、注意几种经常需要分类讨论的知识点，就初二暑假的知识点而言，函数自变量取值的范围，一次函数的k,b的正负性，平方根的双重性，直角坐标系中点的坐标与线段长度的转化等等。

　　2、学会讨论方法，把每一种情况都写下来，然后分别解出每种情况下的结果。

　　3、注意分类之后的取舍，并不是所有情况都是正确答案，尤其是解分式方程和根式方程的时候，会出现增根，一定要检验。

　　(3) 自信心不足，不敢下手

　　原因：

　　1、对于题型本身掌握不好，没思路；

　　2、有些想法，不知道是否正确，不敢动笔；

　　3、不会写过程；

　　4、会做，懒得写。后果：导致考试比作业还差。

　　解决方案：

　　1、问老师、对比类似的例题寻找相同之处；几何先找模型，在思考此种模型的性质特点以及辅助线做法。代数看过程，分析每一步的目的；

　　2、有想法一定要落实在笔头上。怕错写在草稿纸上，视觉带给我们的思路远比空想要多；

　　3、上课认真记笔记，将老师的解题过程详细的记录在本上，几何有模型，代数有步骤。多模仿老师的解题过程，慢慢熟练；

　　4、会做不代表能做对，很多题目的易错点只有在做后才会发现。很多丢分的题目往往是那些一看就会一坐就错的“简单题”；

　　5、有时候解题方法不是一下子就能想出来的，一步就能想出来，那就是完美主义理想。所以在没有明确思路的情况下，我们可以多尝试，一定可以找到正确的思路方式。

　　第二，学习习惯的方面的问题

　　(1)喜欢用铅笔

　　后果：过于依赖铅笔，习惯于没想好就下笔，导致考试时多次使用修改，卷面凌乱。当没有可涂改工具是不敢下笔写。

　　解决方案：除了画图，其他一律使用签字笔书写。除了笔误，由于思路不清或是方法错误导致的失误尽量不要用涂改带修改，标明错误，在一旁写下正确答案。一来，养成“慢想快写”的好习惯二来可以保留错误作为警戒，三来，强制自己的行文工整，否则会一团糟。

　　(2)几何题用签字笔或圆珠笔在图上标注

　　后果：原图被涂改的一团糟，什么都看不清。

　　解决方案：改用铅笔画图，学会科学的标注相等的线段，相等的角，辅助线用虚线等等。

　　(3)看见题目，急于下手，结果思考不出来

　　解决方案：这个时候同学们再读几遍题目，尤其是几何题，综合题。看清题目的已经条件，转化成自己理解的方式，同时将已知条件标注到图上。

　　(4)计算粗心

　　解决方案：

　　1、解题时，严格按照步骤进行，写出详细过程；

　　2、做题要规范；对于易混、易错的知识要善于总结、积累，从而有针对性的进行练习。

　　第三，学习态度方面的问题

　　(1)简单题不愿做，难题不会做

　　原因：浮躁。后果：在初二初三的学习会直线下降。

　　解决方案：强迫自己认真完成每一道自己会做的题，认真思考每一道自己不会的题。保证会做的最对，不会的问会。毕竟，学习是自己的事情，学不好，最着急的是自己。记住，不要放弃。

　　(2)做题不写过程

　　后果：

　　1、不会写过程；

　　2、考试没有过程分；

　　3、思考不严谨，导致做错或遗漏答案；

　　4、难题没思路。

　　解决方案：将思考的事情写成文字，用数学语言表述自己的思维过程。每一个步骤从何而来，有何作用，写在纸上才能看得清清楚楚。同时，锻炼书写能力以及适当的排版都是对考试有所帮助的。简单题多梳理思路，遇到难题才不会手忙脚乱，按部就班的分块解决每一部分，多锻炼思维的逻辑性才能做到目无全牛，条理清晰。

　　(3)自我放弃

　　解决方案：这类型的同学主要是在数学学习中没有找到自我成就感，在这种情况下要学好数学，就需要自身努力，相信自己，但家长和老师的鼓励也是非常重要的。

　　一、加法

　　加法，添加组合多个元素，使单一模型变复合，解决方法：复合问题分解为基本模型。

　　例1.已知ΔABC与ΔDCE都是等腰直角三角形，BC与CE均为斜边（BC＜CE），B，C，E在同一直线上，过E作EF⊥DE，取EF=AB，连结AF交BE于点M．

　　（1）求证：AM=MF；

　　（2）请判断ΔADF的形状，并给予证明；

　　（3）请用等式表示线段AF，BC，CE的数量关系，并说明理由．

　　

　　本题图形由两个等腰直角三角形、两对全等三角形组合而成，我们从中分解出两对全等三角形如下：

　　

　　

　　能够分析出这些基本图形后，几个问题便不难解决。

　　二、减法

　　减法，删减条件关键部分，使完整模型变残缺，解决方法：添补辅助图形构造完整模型。

　　例2.如图，四边形ABCE中，∠A=∠B=90°，AB=BC=12，∠ECF=45°，若BF=4，则EF的长为 ．

　　

　　本题的原型是等线含半角模型，把图形补充完整如下图：

　　

　　构造辅助线如下图，在RtΔAEF中即可用勾股定理求得EF长。

　　

　　三、变法

　　变法，图形局部运动变换，使紧密模型变松散，解决方法：运动变换使条件产生联系。

　　例3.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。

　　（1）若ΔABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，则∠B＝ °；

　　（2）如图①，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的角平分线，不难证明ΔABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ΔABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。

　　

　　（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且ΔABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。

　　

　　问题（2）的解法如下：

　　

　　问题（3）的图形实质就是把问题（2）的图形沿AE翻折而得到的，如下图：

　　

　　我们解题时再把图形翻折回去恢复为（2）中的图形即可顺利解决！

　　

　　

　　四、动法

　　动法，位置或数量不确定，使结论有多种情况，解决方法：分类讨论通盘考虑各个击破。

　　例4.如图，在平面直角坐标系中，已知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点,连接AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ΔABC.

　　（1）求点B的坐标;

　　（2）当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点C的坐标;

　　（3）是否存在点P，使ΔOPC的面积等于√3/4，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可).

　　

　　第（2）问构造图形如下，得C（2√3+1/2t，2+√3/2t）。

　　

　　第（3）问中点P在x轴上的运动过程中点C在不同位置时，面积的表示方式不同，因而要根据C点位置分类讨论，可以这样思考：ΔOPC的底边OP是P点横坐标的绝对值，OP边上的高是C点纵坐标的绝对值（C点轨迹是直线BC），按两个坐标符号可分为：（+，+）、（－，+）、（－，－），然后直接用（2）问结论代入计算:

　　

　　五、隐法

　　隐法，线条隐去化为动点，使可见关系变隐藏，解决方法：寻找动点轨迹化为显性问题。

　　例5.新定义：直线l1、l、l2，相交于点O，长为m的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；

　　（1）如图1，直线l2、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ= ；

　　（2）如图2，若直线l1、l2的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，线段AB在直线l2上左右移动．

　　①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；

　　②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．

　　

　　本题的真实面目是圆的问题，而圆在题中被隐藏，用符合条件的未知点所代替。解题时需找出符合条件的点所在的轨迹，初中阶段一般为圆弧或直线，画出完整图形把问题转化如下：

　　

　　问题（1）即为：以AB为直径的圆与直线l交于点Q，求OQ；

　　问题（2）①即为：以AB为弦的两弧其中一弧与直线l1相切，另一弧与直线l1相离，显然分两种情况；

　　

　　

　　问题（2）②即为：以AB为弦的两弧其中一弧与直线l1相切，另一弧与直线l1相交，分两种情况，如下图。

　　

　　

　　有了完整的图形，再根据切线的性质，OA的长度并不难求。

　　六、改法

　　改法，因果交换同类替代，使问题形式变不同，解决方法：总体思路不变局部环节调整。

　　例6.【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF.

　　因为AB=AD，所以把△ABE绕A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．因为∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共线．

　　如果 （填一个条件），可得△AEF≌△AGF．

　　经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足 时，∠EAF=45°．

　　

　　【应用】如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，点E在边BC上，点F在DC边上，且BE=2．

　　（1）若m=8，且∠EAF=45°，求DF的长；

　　（2）若∠EAF=45°，求m的取值范围．

　　

　　本题把等线含半角模型中的半角条件“∠EAF=45°”改为结论，而结论“BE+DF=EF”变为条件，思路与证法一样。后面的问题进一步把正方形改为矩形，再把矩形的一边改为未知值。构造下面的图形求出x的值即可求得DF的长：

　　

　　第（2）问当C点与E点重合时m最小，当C点与F点重合时m最大。

　　

　　求最大值构造如下图：

　　

　　由相似形得(m-6):(m+6)=2:6，得m=12，所以2≤m≤12。

　　本题中正方形可以改为一般的四边形，满足：AB=AD，∠BAD+∠C=180，∠EAF=1/2∠BAD，则可证结论BE+DF=EF。

　　

　　也可以把E点运动到BC的延长线上，同法可证BE-DF=EF，如下图。

　　

　　七、造法

　　造法，创造新概念新方法，使问题情境变新颖，解决方法：用所学知识模型转化新问题。

　　例7.定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

　　（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；

　　（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形；

　　（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．

　　

　　题中的新概念“三等角四边形”还属于四边形，第（1）问用四边形内角和即可解决，设∠A=x，则∠D=360°-3x，0

　　

　　

　　综上可得AB的最大值为5，再构造直角三角形可求得AC的长。

　　

　　上面几种方法可以交叉和综合使用，这样的题目灵活多变方法多样，能充分考察和训练学生的思维能力，解题者了解这些方法可以对解题能力的提升产生莫大的帮助。