2013年四川高考数学压轴题,导数综合题,学霸说简单
大家好!本文和大家分享一下这道2013年四川高考理科数学压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数的几何意义、直线方程的求解、直线间的位置关系、基本不等式等知识。作为一道压轴题来说,本题的难度不算大,很多学霸都说题目很简单。
先看第一小问:求函数的单调区间。
函数f(x)是分段函数,那么我们也相应地进行分段讨论。
当x<0时,函数f(x)为二次函数,我们直接配方,得到f(x)=x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1,根据二次函数的单调性可知:f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增。
当x>0时,f(x)=lnx为增函数。
综合上面的讨论就可以得到函数f(x)的单调区间。
第一小问非常简单,可以说就是一道送分的题,但是还是有不少同学犯了错误。总结起来主要有两个常见错误:一是在求二次函数单调区间时忘了x<0这个前提,二是两个单调递增区间之间用“∪”连接起来了。这都是两个比较低级的错误,如果在高考中犯了这样的错,那真的很可惜。
再看第二小问:求最值。
两直线垂直,那么这两条直线的斜率之积等于-1,而这两条直线都是函数f(x)的图像的切线,所以对f(x)求导就可以得到两条切线的斜率。
根据题意可知,x1<x2<0,此时f(x)=x^2+2x+a,则f'(x)=2x+2。因此,根据导数的几何意义可得在点A处的切线的斜率为f'(x1)=2x1+2,在点B处的切线斜率为f'(x2)=2x2+2,故有(2x1+2)(2x2+2)=-1。由于x1<x2,所以必有2x1+2<0,2x2+2>0,所以x2-x1=[-(2x1+2)+(2x2+2)]/2≥√[-(2x1+2)(2x2+2)]=1。这样就求出了x2-x1的最小值,不过基本不等式求最值一定要验证取等的条件。
最后看第三小问:求参数a的取值范围。
由于两切线重合,如果我们都写成斜截式,那么这两条切线的斜率相同,并且在y轴上的截距也相等。
注意,这一问没有给出x1、x2的具体范围,所以需要进行分类讨论。显然,当点A和点B同在二次函数或者对数函数的图像上时,两点处的切线不可能重合,所以有x1<0<x2。
接下来先用导数的几何意义求出两切线的斜率,再根据直线的点斜式方程表示出两切线方程,并化为斜截式方程。然后根据两切线重合则斜率相等、在y轴上的截距相等就可以得到一个方程组,。根据方程组的特点,先求出x1的取值范围,再消去x2,并参变分离构造新函数,最后求出新函数的值域,也就是参数a的取值范围了。
这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?
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