寒假复习（三）：5

　　作为新课程的一个重要版块，数学广角有系统、有步骤地向孩子渗透数学思想，把比较复杂和重要的数学思想方法转化为孩子易于接受的简单形式，通过孩子感兴趣的事情表现出来，让孩子在数学活动中感悟，培养他们的思维能力，提升数学素养。

　　以下是五、六年级的数学广角，为让大家更好掌握，每类型题都配有练习，供大家参考。（1-4年的数学广角内容及解题策略见文末链接。

　　五年级上册第七单元：植树问题

　　例：一条公路全长1000米，在它的两旁每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多少棵树苗？

　　解题策略：

　　植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。它的解题关键在于弄清植树的棵数和间隔数的不同，必须考虑三种情况：

　　①两端都植树：棵数＝间隔＋1 ，公式为：

　　距离÷间隔长 +1=棵数；

　　②一端植一端不植：棵数＝间隔（封闭图形也是这一类），公式为：

　　距离÷间隔长=棵数；

　　③两端都不植：棵数＝间隔－1，公式为：

　　距离÷间隔长－1=棵数。

　　所以，例题的答案是：

　　1000÷5+1=201（棵）

　　201×2=402（棵）（公路两旁都种，所以算出一边后乘2。）

　　练习：

　　1.广场上大钟5时敲5下，8秒钟敲完，12时敲12下，几秒钟敲完？

　　2.一条公路的一侧每隔6米种一棵树，一共种了36棵，从第一棵到最后一棵的距离有多远？

　　【植树问题的学习渗透了数形结合、数学模型、对应、极限等数学思想，培养孩子全面思考的能力。】

　　五年级下册第八单元：找次品

　　例：有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，你能设法把它找出来吗？如果有8瓶，如何找出其中少了3片的那瓶？

　　解题策略：可以把产品分成相等数量的若干堆（尽量分成三份，能平均分就平均分，不能平均分的，差尽量小，最好是1），同时称两堆，平衡时说明这两堆里没有次品，不平衡时就说明有次品存在，然后再类推。

　　找次品的题目有几种解答方法：

　　（1）将推理的过程用“直观图”式表示出来；

　　（2）把不同的方案记录在表格中，进行分析、猜测；

　　（3）直接应用规律，明确总个数在几个3相乘的积之内，称的次数就是几。

　　规律：用天平找次品时，所测物品个数与称的次数有以下关系：（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻。）

　　所以，总共3瓶，在2一3之间，要找出其中较轻的那瓶，只要称1次就行。拿其中两瓶来称，如果相等，第3瓶就是少了3片的，如果不相等，轻的一瓶就是少了3片的，直观图如下。

　　如果共8瓶，在4一9之间，只要称2次就可以找出较轻的那瓶。可以将8瓶分为（3，3，2），天平两边各放3瓶，如果相等，剩下的2瓶再称1次就能找出较轻的；如果不相等，较轻的一边3瓶药中拿出2瓶再称1次，就能找出来，总共称2次。

　　练习：1.一箱糖果有12盒，其中11盒质量相同，另有1盒质量不足，轻一些，至少要称几次才能保证找出这盒糖果？

　　2.有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500轻还是重，你能用天平找出来吗？

　　【这类题是通过问题给出的线索，进行归纳、验证，找出称的次数最少的方法，应用了逻辑推理的思想、极限思想、归纳法等。】

　　六年级上册第八单元：数与形

　　例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。

　　解题策略：借助图形计算正方形的个数，研究从1开始的连续若干奇数之和。从图中可以看出：

　　1=12，

　　1+3=22，

　　1+3+5=32 ……

　　由此发现规律：从1开始，连续n个奇数之和，就是n的平方。

　　例2：等比数列之和等于1。

　　1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…=

　　解题策略：因为1/2+1/4=3/4=1-1/4

　　1/2+1/4+1/8=7/8=1-1/8

　　1/2+1/4+1/8+1/16=15/16=1-1/16……

　　通过计算我们发现：（1）后一个加数是前一个加数的1/2；（2）每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数。加数的个数越多，和就越接近1，这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。

　　那么，这个无限接近于1的数到底是多少呢？借助面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，可以发现：如果无限加下去，最终的得数为1。

　　练习：1.看图片并回答。

　　2.按下面所给的排列规律，第306个图形是（ ）。

　　□▽☆○◎□▽☆○◎……

　　3.有14名同学参加同学聚会，每两名同学之间握一次手，一共要握多少次？

　　【这单元内容让孩子们探索“由形到数”和“由数到形”的过程，进一步体会到数形结合在解决数学问题的重要价值，同时渗透了极限思想、归纳法等。

　　六年级下册第五单元：鸽巢问题（抽屉原理）

　　例：把4支铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？

　　解题策略：抽屉原理有两个规律。

　　（1）把n个的物体任意分放进m个空抽屉中（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体

　　（2）把多于kn个的物体任意分放进k个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。

　　答：把4支铅笔放进3个文具盒中，如果每个文具盒中放1支，则还剩下1支，不管放进哪个盒里，总有一个文具盒里至少放进2支。

　　练习：1.把5本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书，为什么？

　　2.任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个的和是偶数，请说明理由。

　　【这单元的学习主要应用了数学的模型思想和归纳法、假设法和枚举法，锻炼孩子的逻辑推理能力。】

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