一题多解 ｜ 角度问题综合

　　题目：在△ABC中，作∠FBC=∠ECB=1/2∠A。求证：BE=CF

　　

　　解法1：利用平行线转移角构造全等三角形

　　

　　①构造平行四边形BHCF；则∠1=∠2=∠3；

　　②∠4=∠1+∠2=∠A；则A、E、G、F四点共圆；则∠5+∠6=180°；

　　③因为∠5=∠H，∠H+∠6=180°，则C、E、B、H四点共圆；

　　④因为∠2=∠3，所以BE=BH=CF

　　解法2：构造等腰三角形

　　

　　①构造△CEB≌△BHC，则BE=CH，只用证△CHF为等腰三角形就行；

　　②∠H=∠BEC=∠A+∠3；∠HFC=∠4+∠3=∠1+∠2+∠3=∠A+∠3；

　　③∠H=∠HFC，所以CH=CF=BE；

　　解法3：构造等腰三角形

　　

　　①作BH⊥CE，CM⊥BF；

　　②先证△CBH≌△BCM，得到BH=CM

　　③再证△BHE≌△CMF

　　（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）

　　解法4：三线合一+构造中位线

　　

　　①GH⊥BC，因为∠1=∠2，根据等腰三角形三线合一得到H为BC中点，且∠3=∠4；

　　②构造中位线HM和HN，要证BE=CF，则证HM=HN；

　　③∠CNH=∠CEB，∠BMH=∠BFC，所以∠HMG+∠HNG=180°；

　　（其中∠BEH+∠CFG=180°在第一种方法中已证明。所以∠BEH=∠CFM）

　　④所以H、M、G、N四点共圆；所以∠3=∠6、∠5=∠4；

　　⑤所以∠5=∠6，HM=HN，BE=CF；

　　解法5：构造相似三角形

　　

　　①构造EH∥AC，则黄色三角形相似；

　　则EG:CG=EH:CF，即EG:BG=EH:CF（因为CG=BG）

　　②△BEH∽△BGE（字母型相似）

　　因为EH∥AC，所以∠BEH=∠A

　　因为∠EGB=∠A（第一种方法已证）；∠BEH=∠A=∠EGB；

　　又因为公共角∠EBH

　　所以△BEH∽△BGE

　　所以BE:EH=BG:EG

　　因为EG:BG=EH:CF

　　所以BE=CF

　　解法6：等面积法

　　

　　①求△BCF的面积

　　S△BCF=1/2×BC×BF×sin∠1

　　S△BCF=1/2×CF×BF×sin∠4

　　所以BC×sin∠1=CF×sin∠4 （1）

　　②求△BCE的面积

　　S△BCE=1/2×BC×CE×sin∠2

　　S△BCE=1/2×BE×CE×sin∠3

　　所以BC×sin∠2=BE×sin∠3（2）

　　③比例关系求解

　　用（1）比（2）得：

　　sin∠1：sin∠2=（CF×sin∠4）：（BE×sin∠3）

　　因为∠1=∠2；∠3+∠4=180°；

　　所以CF=BE