初二数学期中考试热点题型：高分学生必会几何压轴题

　　又到了初二数学期中复习时间了，对于人教版的初二数学，基本上半学期都在学习几何，比如三角形、全等三角形、等腰三角形。在这众多的三角形中，截长补短法、三角形中的旋转、手拉手模型等，同学们都掌握好了吗？

　　下面精选几道期中考试的热点题型供你复习！

　　例题1、如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（　　）

　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

　　例题2、以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．

　　（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；

　　（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；

　　（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

　　【考点】三角形综合题．

　　【分析】（1）根据SAS证明△EAC与△DAB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；

　　（2）利用全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，进而解答即可；

　　（3）根据（1）（2）中的证明步骤解答即可．

　　【解答】解：（1）CE=BD，理由如下：

　　∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

　　∴AE=AD，AC=AB，

　　在△EAC与△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DAB=90°，AC=AB，

　　∴△EAC≌△DAB（SAS），

　　∴CE=BD；

　　（2）∵△EAC≌△DAB，

　　∴∠ECA=∠DBA，

　　∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

　　∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

　　∴∠BFC=180°﹣90°=90°；

　　（3）成立，

　　∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

　　∴AE=AD，AC=AB，

　　在△EAC与△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DAB=90°，AC=AB，

　　∴△EAC≌△DAB（SAS），

　　∴CE=BD；

　　∵△EAC≌△DAB，

　　∴∠ECA=∠DBA，

　　∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

　　∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

　　∴∠BFC=180°﹣90°=90°．

　　【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质知识点．

　　例题3、如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

　　（1）求C点的坐标；

　　（2）在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

　　【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形．

　　【分析】（1）过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS证出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标；

　　（2）△PAB与△ABC全等分两种情况：①当∠ABP=90°时，根据∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出点C、P关于点B对称，结合点B、C的坐标即可得出点P的坐标；②当∠BAP=90°时，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根据△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，进而可找出四边形APBC为平行四边形，结合点A、B、C的坐标即可找出点P的坐标．综上即可得出结论．

　　【解答】解：（1）过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示．

　　∵△ABC为等腰直角三角形，

　　∴∠ABC=90°，AB=BC．

　　∵CD⊥BD，BO⊥AO，

　　∴∠CDB=∠BOA=90°．

　　∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，

　　∴∠ABO=∠BCD．

　　在△ABO和△BCD中，∠CDB=∠BO，∠ABO=∠BCD，AB=BC，

　　∴△ABO≌△BCD（AAS），

　　∴BD=AO，CD=BO，

　　∵A（m，0），B（0，n），

　　∴BD=﹣m，CD=n，

　　∴点C的坐标为（﹣n，n﹣m）．

　　（2）△PAB与△ABC全等分两种情况：

　　①当∠ABP=90°时，如图2所示．

　　∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，

　　∴点C、P关于点B对称，

　　∵C（﹣n，n﹣m），B（0，n），

　　∴点P的坐标为（n，n+m）；

　　②当∠BAP=90°时，如图3所示．

　　∵△ABC≌△BAP，

　　∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，

　　∴BC∥AP，

　　∴四边形APBC为平行四边形．

　　∵A（m，0）、B（0，n），C（﹣n，n﹣m），

　　∴点P的坐标为（m+n，m）．

　　综上所述：在y轴右侧的平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，P点坐标为（n，n+m）或（m+n，m）．

　　【点评】直角坐标系中的几何题，又称代几综合题！初二上册的难度不算太大，但是必备的数学思想方法一定要熟记，比如分类讨论思想！

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