2019年江苏高考数学真题,很多学生直接放弃,学霸一眼看出方法
大家好!本文和大家分享一下这道2019年江苏高考数学填空压轴题。这道题考查了函数的周期性和奇偶性、函数的图像、数形结合思想、方程的解等知识。很多学生看到题目后就选择了直接放弃,而学霸一眼就能看出解题方法。接下来我们一起来看一下这道题。
做这道题之前,我们先回忆一下本题涉及到的几个重要知识点。
1.函数的周期性:如果一个函数在定义域内的所有x都满足f(x+T)=f(x),那么该函数就是周期为T的函数。另外需要掌握常见的T=2a的函数,如f(x+a)=f(x-a)、f(x+a)=-f(x)、f(x+a)=±1/f(x)等。对于周期函数来说,函数的图像可以由一个周期内的图像平移得到,所以画周期函数的图像关键就是找到一个周期的图像,然后平移即可。
2.函数的奇偶性:如果一个函数的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),那么该函数是偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),那么该函数是奇函数。对于奇函数或者偶函数的图像,我们通常先画出x>0或x<0的部分,然后利用对称性得到完整的图像。
特别需要注意f(x+a)=-f(x)与f(-x)=-f(x)这两者的区别,不要搞混淆了。
3.方程解的个数:高中阶段,要求方程的解的个数,通常情况下是很难直接求解的,此时我们可以两方程进行简单的处理,使之变成两个可以画出函数图像的函数,然后利用数形结合来求解。数形结合是中学数学非常重要的方法,特别是在解决难题时有意想不到的效果,中学生一定要牢固掌握。
回到题目。本题如果直接解方程f(x)=g(x),那么需要先利用函数的奇偶性和周期性求出函数f(x)和g(x)在(0,9]上的解析式,然后再分段求解。这个过程非常复杂,特别是还含有参数,一不小心就会做错。而遇到这种不求解的具体值,而是求解的个数的情况下,数形结合无疑是非常巧妙的方法。
当x在(0,2]时,将f(x)的解析式两边平方,再移项得到(x-1)^2+y^2=1,其中y≥0,也就说此时f(x)的图像是以点(1,0)为圆心、以1为半径的圆的上半部分。又因为f(x)是奇函数,所以f(x)的图像关于原点对称,从而得到f(x)在(-2,2]上的图像,也就是一个周期内的图像,然后平移就可以得到f(x)在(0,9]上的图像。
方程f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同的解,也就是说f(x)与g(x)的图像在(0,9]上有8个不同的交点。前面已经画出了f(x)的图像,接下来需要画g(x)的图像。
画g(x)的图像时,我们先画确定的部分,即g(x)=-1/2这部分。同样是先画一个周期内的,然后利用周期性进行平移。可以发现,此时两个函数有2个交点,所以还需要f(x)和g(x)有6个交点。由于k>0,所以函数g(x)=k(x+2)是一条过定点(-2,0)且向上的线段。此时结合f(x)的图像可以发现,只要g(x)与f(x)的图像在(0,1]有2个交点,则它们在(4,5]、(8,9]也分别有2个交点,从而满足8个交点的要求。
显然,x在(0,1]时,线段与圆相切时只有一个交点,而线段过点(1,1)时有2个交点,从而求出k的取值范围。
虽然是选择压轴题,但是掌握方法后这道题其实并不难。你学会了吗?
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