八年级数学期末考试14分压轴大题：有点难，可能考到，百家号首发

　　01八年级数学期末考试14分压轴大题

　　如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE。

　　(Ⅰ)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

　　(Ⅱ)延长ED交直线BC于点F：

　　①如图2，当点F与点B重合时，请用等式表示线段AE、BE和CE 的数量关系并给出证明；

　　②如图3，当点B为线段CF的中点且FE⊥CE时，设EF与AB、AC分别交于点P、S，下列结论正确的有：(A)AD平分∠BAC；(B)AP=PB；(C)BD垂直平分AE；(D)AC=3AS；(E)∠ADB=150°。

　　③如图4，当点F为线段BC中点且ED=EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由(要求至少2种解法)。

　　图1图2图3图4考前认真复习，查漏补缺。02第一问的简要解析

　　判断两条线段数量关系，最直接的，是用圆规或三角板测一下。

　　这在考场，当然不算作弊。

　　经测量，线段BD与CE的数量关系，相等。

　　卷面上总不能信誓旦旦地说“我测量了，相等，不用证明！”

　　考场上注意思维活跃，可以先测量一下。

　　第一问注意什么？

　　①像第一问难度不大，应该快速书写卷面。

　　②紧抓已知，利用“旋转”和“全等”。

　　③阅卷，按步骤赋分。注意书写步骤。

　　首先摆明观点：BD=CE。得1分。

　　往下的证明，注意充分利用已知，注意别省略步骤。

　　∵△ABC是等边三角形，

　　∴∠1+∠2=60°且AC=AB--①

　　∵线段AE是由线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°而得到，

　　∴∠3+∠2=60°且AE=AD--②

　　由①②知：AC=AB，∠3=∠1，AE=AD，

　　∴△ACE≌△ABD(SAS)，

　　∴CE=BD。

　　03第二问第①小问的简要解析

　　依然属于送分题。

　　此时E、D、B(F)三点共线。

　　首先摆明观点：BE=CE+AE。得1分。

　　由题意及第一问知，△ADE为等边三角形，即AE=DE。

　　由第一问△ACE≌△ABD知CE=BD。

　　故BE=BD+DE=CE+AE。

　　考场上，踏实做题，不作弊。04第二问第②小问的简要解析

　　第二问第②小问，选(C)(E)。难度不太大。主要用到“三角形的中位线”、“旋转”、“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”。

　　(A)AD平分∠BAC；(B)AP=PB；(C)BD垂直平分AE；(D)AC=3AS；(E)∠ADB=150°。

　　由旋转知，对应边BD和CE成60°角。

　　FE⊥CE已知，过点B作BM⊥FE于点M，则BM为△FEC的中位线，EC=2BM。

　　在Rt△BMD中，BD=EC=2BM，则∠4=30°=∠5，则BD垂直平分AE。

　　又∠6=120°，故∠ADB=150°。

　　拓展：如果把已知中的“FE⊥CE”换成“AP=PB”，则有AC=3AS。

　　考场上，心无旁骛，稳定发挥。05第二问第③小问解法一的详细分析和求解

　　详细分析

　　首先说出∠BAD=45°。拿下1分。

　　由已知△ADE是等边三角形，则DE=AE。

　　题干透露ED=EC，故AE=EC。

　　欲证∠CAE=45°，只需证AE⊥CE。

　　有同学说：题目问的是∠BAD，没问∠CAE。

　　由题意，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转60°所得到。∠BAD=∠CAE。

　　详细求解

　　第一问的结论是EC=BD。

　　由题意△ABC和△ADE均为等边三角形，ED=AD，CA=CB，

　　又已知ED=EC，故ED=BD=AD。

　　连接CD，易证得△CDA≌△CDB(SSS)，

　　∴∠7=∠8=30°。

　　取AC中点G，连接DG并延长交AE于点H，

　　第二问第③小问解法一附图。

　　∵点G为AC的中点、点F为BC的中点，AC=BC，

　　∴CG=CF，又∠7=∠8，CD=CD，

　　∴△CDG≌△CDF(SAS)，

　　∴∠9=∠10--------①

　　∵ED=EC，

　　∴∠11+∠7=∠12，

　　而外角∠12=∠10+∠8，

　　∴∠11+∠7=∠10+∠8，其中∠7=∠8，

　　∴∠11=∠10-------②

　　由①②知∠9=∠11，

　　∴GH∥CE----------③

　　∵点G为AC的中点，

　　∴点H为AE的中点，又DA=DE，

　　∴DH⊥AE----------④

　　由③④知CE⊥AE。

　　而AE=EC已证，

　　∴△ACE为等腰Rt△，

　　∴∠CAE=45°。

　　由第一问知△ACE≌△ABD(SAS)，

　　∴∠BAD=∠CAE=45°。

　　现在努力学，因为将来考研很难。

　　第二问第③小问解法一的反思和感悟：

　　主要用到辅助线全等、旋转、外角、等腰三角形底边上的中线垂直底边、三角形中位线、等腰直角三角形性质等。

　　都是很容易想到的知识点。

　　考场上，没时间思虑过多的解法。只要有思路、只要正确，那就抓紧形成卷面。

　　然而平时，是有足够时间的，就看您如何分配利用。

　　如果仅仅满足于“会一种解法就够了”，那么到用时候，恐怕很难拿出一种解法。

　　因为平时缺乏深入钻研探究，没养成掌握多种解法的习惯。

　　如果平时缺乏独立思考、一遇难题就翻答案、抄答案，考场上难免无法突破。

　　平时独立思考，考场上才能发挥自如。06第二问第③小问解法二的详细分析和求解

　　题目明说，点F为等边△ABC的边BC的中点。

　　那就必须连接AF。

　　凡是见到等腰三角形，注意其三线合一的性质。

　　过点A作AN⊥DE于点N，此时辅助线如下图：

　　第二问第③小问解法二附图。

　　如果能证明△ADB∽△ANF，则可得到∠ADB=∠ANF=90°，又易证得AD=DB，故△ADB未等腰Rt△，则∠BAD=45°。

　　详细求解

　　过点A作AN⊥DE于点N，则∠FNA=90°，

　　由题干，线段AE是由线段AD绕点A逆时针方向旋转60°得到，

　　∴△ADE为等边三角形(ED=AD)，

　　则∠DAN=30°，

　　连接AF，

　　第二问第③小问解法二之附图。

　　∵点F为线段BC中点，

　　∴∠BAF=30°，

　　∴∠DAN+∠FAD=∠BAF+∠FAD，

　　即∠FAN=∠BAD-----①

　　∵点F为边BC中点，

　　∴AF为等边△ABC底边BC上的高，

　　显然，等边△ABC∽等边△ANF，

　　∴由相似三角形对应边及对应边上的高成比例得：

　　AF:AN=BC:DE，

　　即AF:AN=AB:AD-----②

　　由①②知△FAN∽△BAD，

　　∴∠BDA=∠FNA=90°---③

　　由第一问知BD=CE，而已知ED=EC，

　　∴BD=ED=AD---------④

　　由③④知△BAD为等腰直角三角形，

　　∴∠BAD=45°。

　　考场上遇到难题，也不要急躁。

　　第二问第③小问解法二的反思和感悟：

　　主要用到等边三角形性质、等腰直角三角形性质、旋转、辅助线构造相似等。

　　注：在证明边对应成比例时，可用三角函数。

　　总之，解法一侧重基础，解法二则侧重技巧。请仔细玩味。

　　快速提高数学，并不在于做题多，关键在于多琢磨、多体会典型好题。

　　再次重申：考场上千万不可作弊。

　　作者简介

　　中共党员，中考数学命题组成员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。

　　专注百家号教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的原创多角度详细权威解析。篇篇经典。

　　涉及科目主要中考、高考数学、物理，偶尔也有化学、英语、作文。

　　做完认真检查，不急于交卷。

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