初二数学:求旋转所得的一次函数有点难?掌握全等性质其实很简单
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求满足条件的一次函数解析式是初二数学的重要题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,希望能给初二学生的期末考试复习带来帮助。
例题
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,0),B为y轴正半轴上一点,将线段AB绕点B旋转90°至BC处,过点C作CD⊥x轴于点D,若四边形ABCD的面积为36,求直线AC的函数表达式。
解题过程:
1、线段AB逆时针旋转90°至BC处
过点C作CE⊥y轴于点E
根据题目中的条件:CE⊥y轴,x轴⊥y轴,CD⊥x轴,则∠AOB=∠BOD=∠BEC=∠CEO=∠CDO=90°;
根据结论:∠AOB=90°,∠ABC=90°,∠BAO+∠ABO=90°,∠CBO+∠ABO=90°,则∠BAO=∠CBO;
根据全等三角形的判定和结论:∠BAO=∠CBO,∠AOB=∠BEC,AB=BC,则△AOB≌△BEC;
根据全等三角形的性质和结论:△AOB≌△BEC,则AO=BE,BO=CE;
设BO=x
根据题目中的条件:
根据结论:A(-3,0),则AO=3;
根据结论:AO=3,AO=BE,则BE=3;
根据结论:BE=3,BO=x,则EO=x-3;
根据结论:BO=CE,CE=DO,BO=x,EO=CD,EO=x-3,则CE=DO=x,CD=x-3;
根据三角形和矩形面积公式和结论:S△AOB=AO*BO/2,S△BCE=BE*CE/2,S矩形CEOD=CE*EO,AO=3,BO=x,BE=3,CE=x,EO=x-3,则S△AOB=3/2x,S△BCE=3/2x,S矩形CEOD=x^2-3x;
根据结论:S四边形ABCD=S△AOB+S△BCE+S矩形CEOD=36,S△AOB=3/2x,S△BCE=3/2x,S矩形CEOD=x^2-3x,则x=6或-6;
根据结论:BO=x,BO>0,则x=-6舍去;
根据结论:x=6,CD=x-3,DO=x,则CD=3,DO=6,即点C的坐标为(6,3);
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
根据结论:直线AC:y=kx+b经过点A、C,C(6,3),A(-3,0),则k=1/3,b=1;
所以,直线AC的函数解析式为y=1/3x+1。
2、线段AB顺时针旋转90°至BC处
过点C作CF⊥y轴于点F
根据题目中的条件:∠ABC=∠AOB=90°,则∠CBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,即∠CBF=∠BAO;
根据题目中的条件:CF⊥y轴,则∠CFB=90°;
根据全等三角形的判定和结论:∠BAO=∠CBF,∠AOB=∠CFB,AB=BC,则△AOB≌△BCF;
根据全等三角形的性质和结论:△AOB≌△BCF,则BO=CF,AO=BF;
设BO=x
根据结论:AO=3,BO=x,BO=CF,AO=BF,则BF=3,CF=x;
根据结论:BF=3,BO=x,则FO=BO+BF=3+x;
根据三角形、矩形面积公式和结论:S矩形CDOF=FO*CF,S△BCF=CF*BF/2,FO=3+x,CF=x,BF=3,则S矩形CDOF=3x+x^2,S△BCF=3/2x;
根据结论:S四边形ABCD=S矩形CDOF-S△BCF-S△AOB=36,S矩形CDOF=3x+x^2,S△BCF=3/2x,S△AOB=3/2x,则x=6或-6;
根据结论:BO=x,BO>0,则x=-6舍去;
根据结论:x=6,CD=FO=3+x,DO=CF=x,则CD=9,DO=6,即点C的坐标为(-6,9);
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
根据结论:直线AC:y=kx+b经过点A、C,C(-6,9),A(-3,0),则k=-3,b=-9;
所以,直线AC的函数解析式为y=-3x-9。
结语
解决本题的关键是根据直线的旋转方向分两种情况进行讨论求解,根据题目条件给出的角度、线段间的关系,合理添加辅助线构造出一组全等三角形,得到线段间的等量关系,再利用三角形、矩形的面积公式列出等式就可以求得线段长度,进而得到一次函数图像上的点坐标,就可以求得一次函数解析式。
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