朱丽叶集这里的美，超凡脱俗，令人窒息

　　一、如此复杂，精细的图形

　　首先请先欣赏下面这幅图：

　　

　　这幅图给人的第一印象是非常精细，而且细心的朋友可能会发现，这幅图的许多小部分放大后和整体非常相似。

　　

　　比如我们把上图画框的部分放大，大家看：

　　

　　再画个小框放大！里面还是大有乾坤！

　　

　　这种图形的精细之处在于：无论你把哪个局部放大，无论你放大多少倍，你都会看到和整体类似的图形。

　　大家可以想象一下，这个图形到底有多复杂，多精细。而我要告诉大家的是，生成这个图形背后的数学原理，非常简单！同样的数学原理，可以生成许许多多这样的图形(大量精美图片放在文章第三节，读者可先跳过欣赏)。

　　二，背后的数学原理

　　为了理解这些图像背后的数学原理，我们需要三个关于复数的基础知识。

　　还记得这个方程吗？初中数学老师告诉我们这个方程无解，因为不论是正数还是负数，它们的平方都大于零。

　　

　　上了高中后，高中数学老师却告诉我们这个方程有个虚数解，然后开始引入复数。

　　一，复数，指形如x+yi的数，其中x,y是实数，而i是满足 i2=-1的虚数。复数的加法非常简单：(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i。乘法稍稍有点复杂，但其实都是由公式i2=-1推导出来的。

　　比如

　　i?(2-i)=1+2i； i?(1+i)=-1+i；

　　(1+i)2=1+2i+i2=2i

　　一般的复数乘法公式是:

　　(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i

　　二，复数z=x+yi的模ⅠzⅠ是定义为：

　　

　　两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积。

　　

　　这个结论可以由复数乘法公式和下面公式直接得到：

　　

　　还记得初中时学过的一个重要知识吗：所有实数和数轴上的所有点一一对应？其实复数也有类似的说法。

　　三，复数和坐标平面上的点一一对应，复数x+yi对应坐标为(x,y)的点。根据勾股定理，复数的模就是对应的点到坐标原点的距离。

　　

　　所以接下来我们会把复数看成平面上的点，平面上的点也会看成复数，重要的事情说三遍：

　　复数就是平面上的点！

　　复数就是平面上的点！

　　复数就是平面上的点！

　　现在我们可以来讲述精美图形背后的数学原理了。首先，给定一个固定的二次多项式f(x)=x2+c，其中c是固定的复数。接下来，任意的一个复数z，代入到多项式f(x)中，都会得到一个新的复数f(z)=z2+c，再把这个新的复数再代入到多项式f(x)中，又会得到一个新的复数f(f(z))=(z2+c)2+c，

　　

　　一直这样做下去，就会得到一个无穷的复数序列，也就是平面上的无穷多个点。

　　

　　如果这无穷多个点都落在某个以原点为圆心的圆内(说得专业一点就是，如果这无穷多个点是有界的)，

　　

　　也就是说，如果这些复数的模都会小于某个正数R的话，那我们就称 z 为良好点。所有的良好点构成的集合称为多项式 f 的填充朱丽叶集(filled Julia set)，填充朱丽叶集的边界称为多项式 f 的朱丽叶集(Julia set)。

　　

　　复动力系统先驱Gaston Maurice Julia (1893 – 1978)

　　我们来看最简单的例子，多项式f(x)=x2的朱丽叶集。x2的作用就是平方运算，所以任何复数z不断代入这个多项式得到的无穷复数序列就是：

　　

　　根据复数的模的乘法性质，这些复数的模分别是：

　　

　　使得这个无穷数列保持有界的复数z，正是那些模小于或等于1的复数，而这些复数在平面上构成了单位圆盘(x2+y2≤1)。所以多项式x2的填充朱丽叶集就是单位圆盘，而朱丽叶集就是圆盘的边界，也就是单位圆周(x2+y2＝1)。

　　

　　三，这里的美，超凡脱俗，令人窒息

　　在mathematica软件中绘制朱丽叶集，虽然精度不是很高，但画出来的图形已经足够优美了。我们先来看一下，当c很小的时候，比如c=-0.2+0.2i时，多项式x2+c的朱丽叶集已经非常粗糙了，但至少还可以围成一块完整的区域

　　

　　c继续变化时，情况就完全不一样了，我们已经引领大家来到一个全新的美学世界，这里的美，超凡脱俗，令人窒息！

　　下面是x2-0.77-0.22i 的朱丽叶集，我们在文章开始的时候已经见过了

　　

　　x2+0.365-0.37i 的朱丽叶集:大大小小的风车不停地转动

　　

　　x2-0.6358+0.682i 的朱丽叶集,光秃秃的枝干

　　

　　x2-0.55+0.64i 的朱丽叶集,长出枝叶

　　

　　x2-0.52+0.62i 的朱丽叶集,越长越茂盛

　　

　　x2-0.51251-0.521296i 的朱丽叶集:无穷无尽的锁链！

　　

　　x2-0.5264-0.5255i 的朱丽叶集:锁链越拉越长

　　

　　x2-0.534-0.5255i 的朱丽叶集:越拉越细

　　

　　x2-0.54-0.5255i 的朱丽叶集:锁链终于拉断了

　　

　　x2-0.62－0.44i 的朱丽叶集,我们用绿色来填充，这样效果更好，像不像仙人掌。

　　

　　x2-0.69－0.31i 的朱丽叶集,仙人球！

　　

　　x2-0.691+0.312i的朱丽叶集:黑心花椰菜

　　

　　x2-0.6984+0.31i的朱丽叶集:花椰菜脱水

　　

　　x2+0.26 的朱丽叶集,这是猫头鹰家族吗？

　　

　　x2+0.34-0.05i 的朱丽叶集,简直就是一只怪兽

　　

　　x2+0.375-0.083i 的朱丽叶集,怪兽被打碎了

　　

　　x2+0.42413+0.20753i 的朱丽叶集：另一只怪兽

　　

　　x2+0.3593+0.5103i 的朱丽叶集,怪兽被打弯了

　　

　　x2+0.338+0.489i 的朱丽叶集,怪兽又被打碎了

　　

　　x2+i 的朱丽叶集:闪电！闪电！

　　

　　x2-1.75488的朱丽叶集:灰机

　　

　　x2-1.38的朱丽叶集:葫芦串？

　　

　　x2+0.3-0.015i的朱丽叶集:晴转多云

　　

　　x2＋0.47-0.1566i的朱丽叶集:云散了

　　

　　x2＋0.02-0.66i的朱丽叶集: 烟花绽放！

　　

　　x2-0.6843-0.3944i的朱丽叶集:星尘？星云？

　　

　　x2-0.0471-0.656i的朱丽叶集:吞噬一切的黑洞

　　

　　x2-0.015-0.66i的朱丽叶集:蜘蛛网

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