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《数学月刊》:这种蛋糕的体积是有限的,表面积却是无限的
物体可以具有无限的表面积,但是体积是有限的,这似乎是一个悖论。悖论的一个常见解释是,将面积与体积进行比较就像苹果与橙子进行比较:面积以平方米为单位,但是体积以立方米为单位,那么为什么两者之间就应该有相互关联呢?你能找到更好的答案吗?
1994年一位美国大学生提出了一个蛋糕数学模型,将其发表在《数学月刊》上,我们只了解其中简单的一部分:
考虑一个无限高的生日蛋糕,每一层都是一个高度为1的圆柱体,该蛋糕第一层的半径是1,第二层半径是1/2,第三层半径是1/3,第n层的半径为1/n,现在要确定需要多少奶油才能覆盖整个蛋糕?
该体积由一系列单位高度和半径减小为1/n的圆柱体组成,所有体积相加即可轻松计算出整个蛋糕的体积
体积公式为:
这里的和就是著名的巴塞尔问题,欧拉于1734年解决这个无穷级数
自然数平方的倒数和为
另一方面,表面积却是无限的。通过添加圆柱曲面的面积可以很容易地看出这一点
其证明如下
如果体积沿x轴收缩,则环面塌陷为面积是π的单位圆
所以这种蛋糕的体积是有限的,但表面积是无限的。
但这个模型的意义远不止于此,还包含更为深奥的数学原理,我们不在此作过多的叙述。
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