经典力学：开普勒运动定律及万有引力定律

　　一、开普勒运动定律

　　开普勒在对第谷等人的大量精密观测数据的研究基础上，从1609年到1619年先后提出了行星运动的三大定律。

　　1.开普勒第一定律

　　所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道的偏心率都比较小，例如地球轨道的偏心率只有0.0167，很接近圆。

　　2.开普勒第二定律

　　对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积(近日点速率最大，远日点速率最小)。

　　3.开普勒第三定律

　　所有行星的轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的平方的比值为一常量。即a/T＝K＝GM/4π(M为中心天体质量)，K是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关。

　　二、万有引力定律及其应用

　　1.万有引力定律

　　①.定律内容

　　宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。

　　②.计算公式

　　F＝Gm1m2/r，G为万有引力恒量，G＝6.67×10－11N·m/kg。公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因，但重力又不完全等于引力。这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力。这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是f＝mrω，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度。向心力来自地球对物体的引力F，是引力F的一个分力，引力F的另一个分力是物体的重力mg。在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)。纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力f＝mRωcos α(R为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcos α＝0，f＝0。作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大。在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差，即mg＝GMm/R－mωR；在两极，引力就是重力。但由于地球的角速度很小，数量级仅为10－5rad/s，所以mg与F的差别并不是很大。重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能指向地心。同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，随着物体离地面高度的增加而减小。若不考虑地球自转，地球表面处有mg＝GMm/R，可以得出地球表面处的重力加速度g＝GM/R。在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g′，由牛顿第二定律可得mg′＝GMm/(R＋h)，即g′＝GM/(R＋h)＝R/(R＋h)g。如果在h＝R处，则g′＝g/4。在月球轨道处，由于r＝60R(r＝h＋r)，所以重力加速度g′＝g/3600。重力加速度随高度的增加而减小这一结论对其他星球也适用。

　　2.万有引力定律的应用

　　①.基本方法

　　把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

　　②.解决天体圆周运动问题的两条思路

　　a.在地面附近万有引力近似等于物体的重力，F万＝mg即GMm/R＝mg，整理得GM＝gR。b.天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F万＝F向。

　　一般有以下几种表述形式：GMm/r＝mv/r，GMm/r＝mωr，GMm/r＝m4π/Tr。

　　③.天体质量和密度的计算

　　a.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由于GMm/R＝mg，故天体质量M＝gR/G，天体密度ρ＝M/V。

　　b.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r。

　　(a)由万有引力等于向心力，即GMm/r＝m4π/Tr，得出中心天体质量M＝4πr/GT；

　　(b)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝M/V＝M/4/3πR＝3πr/GTR；

　　(c)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3π/GT。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度。不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝GM/mR，从而得出GM＝gR(通常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度。