求和公式十篇

　　求和公式篇1

　　求和公式的意义：在上面和下面所给出的某个变量n的取值范围内，对符号后面的表达式按不同的n求出结果，再将这些结果进行求和运算。有时候也只在下面写一个类似n=[x,y]的式子，以表示变量的取值范围。

　　数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{an}的通项公式，应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。

　　（来源：文章屋网 ）

　　求和公式篇2

　　关键词：数列通项公式 数列综合 方法和技巧

　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）10-0148-02

　　一、由数列的前几项求数列的通项公式

　　用观察法求数列的通项公式的技巧

　　（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求。对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整。

　　（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着"从特殊到一般"的思想.

　　例1.已知n∈N*，给出4个表达式：①

　　③an= ，④an= .其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（ ）

　　A.①②③ B.①②④

　　C.②③④ D.①③④

　　解：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式.

　　例2.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

　　（1）4，6，8，10，…；

　　（2）- ， ，- ， ，…；

　　（3）9，99，999，9 999，….

　　解：（1）各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an=2（n+1），n∈N*.

　　（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an=（-1）n× ，n∈N*.

　　（3）这个数列的前4项可以写成10-1，100-1，1 000-1，10 000-1，所以它的一个通项公式an=10n-1，n∈N*.

　　二、由an与Sn的关系求通项an

　　已知Sn求an的三个步骤

　　（1）先利用a1=S1求出a1；

　　（2）用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；

　　（3）对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=1与n≥2两段来写.

　　例3.已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：

　　（1）Sn=2n2-3n；（2）Sn=3n+b.

　　解：（1）a1=S1=2-3=-1，

　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n）-[2（n-1）2-3（n-1）]=4n-5，

　　由于a1也适合此等式，an=4n-5.

　　（2）a1=S1=3+b，

　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1+b）=2?3n-1.

　　当b=-1时，a1适合此等式.

　　当b≠-1时，a1不适合此等式.

　　当b=-1时，an=2?3n-1；

　　三、由递推关系式求数列的通项公式

　　递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

　　递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.

　　归纳起来常见的命题角度有：

　　角度一：形如an+1=anf（n），求an

　　例1.在数列{an}中，a1=1，前n项和Sn= an .求数列{an}的通项公式.

　　解：由题设知，a1=1.

　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1= an - an-1.

　　以上n-1个式子的等号两端分别相乘，得到 = .

　　又a1=1，an= .

　　角度二：形如an+1=an+f（n），求an

　　例2.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ ，求数列{an}的通项公式.

　　解：由题意，得an+1-an= = - ，

　　an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

　　= + +…+ + +2=3- .

　　角度三：形如an+1=Aan+B（A≠0且A≠1），求an

　　例3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式.

　　解：an+1=3an+2，an+1+1=3（an+1），

　　=3，数列{an+1}为等比数列，公比q=3，

　　又a1+1=2，an+1=2?3n-1，

　　an=2?3n-1-1.

　　角度四：形如an+1= （A，B，C为常数），求an

　　例4.已知数列{an}中，a1=1，an+1= ，求数列{an}的通项公式.

　　解：an+1= ，a1=1，an≠0，

　　= + ，即 - = ，又a1=1，则 =1，

　　是以1为首项， 为公差的等差数列.

　　= +（n-1）× = + ，

　　求和公式篇3

　　关键词:等比数列;教学;反思

　　1.新课标下的教育教学反思

　　反思教学,是我国自20世纪90年代引入的与新课标相适应的一套优秀的教学模式,在基础教育的各学科中进行了一系列的理论与实践研究。通过教学这一平台,进行教学活动,提高教学水平。教学反思应具体从以下三个方面分析。

　　(1)课前,在备课时要了解听课学生的整体学习情况,对教案进行预想设计,紧扣新课标理念,随时对教案进行改良。例如等比数列是高考的重点内容之一,但同时也是高中教学的难点之一,学生在刚接触这部分内容时对知识点难以理解、难以驾驭,所以我采取一种迂回的方式,将知识分成高一渗透、高三拾遗的方式来讲解,收到更佳效果。

　　(2)课中,课堂要生动有活力,各个环节衔接流畅,同时围绕新课标的理念以学生为主体,老师只起到引导和点拨的作用。例如在课题引入时采用讲故事的形式,通过这种形式能够更好地引起学生对接下来所学的内容产生兴趣,促进与学生的交流。

　　(3)课后,学生要对课堂知识进行回顾,而老师则要对自己的课堂教学进行反思,找出课堂教学的可提升点,充分肯定学生在课堂上提出的独到见解,让学生思维的火花不断闪烁。

　　2.重方法,重思想,实现教学目标

　　新课标的理念注重教学情境,注重教学中运用多种方法,启迪学生思想,让学生产生强烈的求知欲。根据教学经验,我认为应当从教学思想理念、授课方式两方面来进行总结反思。

　　(1)在教学思想理念上:老师在备课时要注重对于本节知识的精髓的提炼,然后融于现实生活的例子中,因此,在课件的选择中,老师可以选择一些平时生活中的小例子,在讲解的同时激发起学生对知识的渴求,更利于学生对知识的掌握。

　　(2)在授课的方式方法上:教师不能简单机械地让学生死记硬背,而应通过建立数学模型来启发学生,引导学生在实际情境中发现规律。在等比数列求和这一节中可以采用由特殊到一般的引入思路,引导学生对等比数列求和的思考,并且鼓励他们提出自己的理解与看法,激发学生对等比数列求和探究的积极性,由特殊走向一般,同时鼓励学生与之前所学过的等差数列进行类比,将这两处的知识点有机地结合在一起。在本节讲授中,公式的推导可以说是学生理解的一个难点,因此我在此处进行了多次的教学反思,我认为首先要在学生已经对等比数列求和这一问题产生了兴趣的基础上,仍以学生为探究主体,先带领学生回顾等差数列的求和公式的推导,再引导学生探索等比数列求和公式的推导。整堂课通过亲历提出问题、解决问题、反思总结,学生在已有的知识基础上对新知识进行探索,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”。

　　3.重难点,课堂之外的课堂是关键

　　由于初中阶段并没有接触过数列知识,所以它对于高一新生来说还是比较陌生的。以笔者的执教经验来看,学生在刚接触到这一部分时会表现出对知识的把握很茫然的感觉。为了使学生突破心理障碍,老师不但需要在45分钟的课堂上注意自己所设计的每一个问题、每一句话,还要在课外补充课堂上的不足。笔者所认为的课堂之外的课堂,应当分成学生和老师两方面来考虑。

　　从学生方面来说,在新课标的理念下学生成为了课堂的主体,每节课他们需要参与大量的教学活动,而老师则充当了引领者的角色。因此,为了提高课堂效率,课前的准备工作就成为了必要且必须的,而课后的习题练习更不是与新课标相违背的,不能成为学生的负担。对于知识的掌握,最好的办法就是能够熟练地应用知识,没有课后习题来巩固知识就如同纸上谈兵。

　　在新课标的素质要求下,老师的压力也在不断地增加,这就需要教师不断地充电,教学反思就是一种不断令教师进步的方法:①通过教学反思,教师能够提高自我教学意识,增强自我指导、自我批评的能力,适应当今教育改革的需要,学会教学;②通过教学反思的研究,解决理论与实践脱节的问题,构建理论与实践相续的桥梁,通过实践来检验理论,同时又可以将反思后的理论来指导以后的实践;③通过反思教学的良性循环,在反思中发现问题,思考问题,解决问题,让教学成为一项科学研究,从而提高教学质量;④教学反思不仅要求确立学生的主体性地位,更重要的是发挥教师的主导作用。

　　总而言之,教学不仅是一门学问,也是一门艺术,而在新课标的理念下我们更要将其转变为一种文化,教学不是可以靠简单的训练就可以学会的技术,是值得我们不断探索、不断反思的文化!

　　参考文献:

　　[1]张颖娣.浅谈课后反思交流[J].中学教学参考,2009(29).

　　求和公式篇4

　　一、已知a1，d，n求an，Sn型

　　例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5与S5。

　　分析：分别把已知条件代入等差数列的通项公式an与前n项和公式Sn求解。

　　解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

　　点评：在等差数列的通项公式与前n项和公式中涉及的5个量中，a1与d又是最基本的两个量，是构成等差数列的两大支柱，因此一般a1与d为已知，则只有直接将相关的量代入通项公式与前n项和公式就可求得an与Sn。

　　变式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an与S6。

　　二、已知a1，an，n求d，Sn型

　　例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

　　分析：先利用等差数列的通项公式建立方程求公差d的值，然后把相关量代入等差数列的前n项和公式求S5。

　　点评：利用a1与an的值代入通项公式可求得公差d，然后再将相关的已知量与所求得的量代入前n项和公式即可求得Sn。

　　例3 等差数列的{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13

　　解：（1）设Sn=An2+Bn，a3=S3-S2=5A+B=12，B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由题意得S12=144A+12（12-5A）点评：借助二次函数的性质研究等差数列前n项和的最值问题，是常用的方法。一般需抓住“三点一轴”来考虑问题。三点是指开口方向、n取值范围的两个端点，一轴是对称轴。

　　变式拓展2：在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通项an；（2）求此数列前30项的绝对值的和。

　　三、已知a1，an，d求n，Sn型

　　例4 等差数列{an}中，首项a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

　　分析：先根据等差数列的通项公式建立方程求出n，然后把相关量已知量及所求得的量代入等差数列的前n项和公式求Sn。

　　解：依题意，由通项公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

　　变式拓展3：等差数列{an}中，首项a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

　　四、已知a1，d，Sn求n，an型

　　例5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

　　分析：先利用等差数列的前n项和公式建立方程求出n，然后把相关量代入等比数列的通项公式求an。

　　变式拓展4：在等差数列{an}中，公差为d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

　　五、已知an，d，Sn求a1，n型

　　n2-7n-30=0，（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

　　n=10，a1=-3。

　　求和公式篇5

　　关键词：泰勒公式；极限；等式；不等式

　　中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0113-02

　　近年来关于泰勒公式的研究很多，文[1]说明了泰勒公式的不足并给出了建议，文[2]推广了泰勒公式，文[1-5]用例题说明了泰勒公式在求极限、求近似值、求幂级数的展开、式行列式计算以及等式不等式的证明中的应用.但有些例题不能充分说明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面从求极限、证明不等式、证明等式方面通过典型例题说明泰勒公式的地位和作用.

　　一、泰勒公式在求极限中的地位与作用

　　常用的求极限的方法是等价无穷小替换与罗比达法则的混合使用，和式的极限还可以考虑夹逼原理和定积分的定义.在极限的运算中泰勒公式不是首选的工具，因为它比其他工具在书写和表达上要复杂.因此一般不选用泰勒公式求极限.但是有的极限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出来.

　　例1[6] 求.

　　解 x0时，sin43x：（3x4）=81x4，应用泰勒公式，有

　　ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

　　sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

　　故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

　　=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

　　=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2?x2）+0（x4）

　　=x+x2-x4+0（x4），

　　e-1=e-1

　　=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

　　=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

　　+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

　　=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

　　=x+x2-x4+0（x4）.

　　于是，

　　=-.

　　该题只能用泰勒公式解决，读者可以验证其他工具和方法，是求不出结果的.泰勒公式是可以展开到任意次的，在题目中展开到4次是因为分母的等价无穷小是4次.也就是说，使用泰勒公式求极限时函数泰勒展开的次数取决于题目中其他部分的次数.

　　二、泰勒公式在证明等式中的应用

　　在各级各类考试中经常会有关于中值公式的证明，拉格朗日中值公式是零阶的泰勒公式，使用范围较大，但如果碰到的是高阶的微分中值定理题目，处理工具最好采用泰勒公式，不仅问题的解决过简洁，而且有时候泰勒公式是必须选用的工具.

　　例2[7] 设f（t）三阶可导，且f‴（b）≠0，

　　f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0

　　证明λ=.

　　证明 将f（t）在t=b处展开为三阶带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

　　f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

　　对f（t）求二阶导数得

　　f″（t）=f″（b）+f‴（b）（t-b）+0（t-b） ③

　　③式中将t变为b+λ（t-b），得

　　f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f‴（b）λ（t-b）+o（t-b）④

　　①-②得

　　f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

　　联立④、⑤得

　　λ=+?⑥

　　⑥式求极限得

　　λ=

　　若采用泰勒公式之外的方法来证明例2，不仅过程复杂，而且求解不得结果.

　　三、泰勒公式在证明不等式中的应用

　　如同高阶的微分中值定理等式证明一样，如果要证明的不等式中出现一阶、高阶导数，在拉格朗日中值定理解决不了的情况下，就要考虑运用泰勒公式证明.还有一种不含有微分、积分的普通不等式，证明方法较多，但有时候泰勒公式是最简便的方法.

　　例3[8] 证明：xln=+cosx≥1+（-1

　　证明 因为-1

　　x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

　　将ln（1+x），ln（1-x），cosx展开为二阶的带有皮亚诺型余项的泰勒公式得：

　　ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

　　将⑧代入⑦左侧，得

　　1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）⇔x2+o（x2）≥0

　　恒成立.

　　该题的证明可以采用构造辅助函数利用单调性证明，也可以采用拉格朗日中定理结合单调性证明，但证明均不如采用泰勒公式简便.

　　泰勒公式一直是高等数学教学中的重点和难点，重在泰勒公式的应用，难在公式大、系数多、导数阶数高，还有一余项.教材中主要说明了泰勒公式的形成、证明，应用涉及较少.学生对推导证明有畏惧心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，这就降低了学习泰勒公式的积极性和主动性，减弱了学习效果.好多学生对泰勒公式的反应时只知其名，不知何物，尽量不用.因此在泰勒公式的教学中，淡化理论推导，侧重公式应用，突出重点，降低难度，在应用中掌握公式，激发学习兴趣很有必要.

　　参考文献：

　　[1]王国强，胡法领，盛大征.泰勒公式及其应用[J].德州学院学报，2012，（7）.

　　[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其应用[J].科学之友，2012，（6）.

　　[3]鲁翠仙.泰勒公式及其应用[J].西昌学院学报，2013，（3）.

　　[4]王国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报，2012，（8）.

　　[5]熊学辉，柯璇，张凯.物理类课程中泰勒公式近似的教学方法探讨[J].江汉大学学报，2011，（4）.

　　[6]尹逊波，杨国俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：63-64.

　　[7]张天德，蒋晓芸.高等数学习题精选精解[M].济南：山东科学技术出版社，2007：90.

　　[8]张天德，李仁所，李擂.考研数学试题精选精解高等数学600题[M].济南：山东科学技术出版社，2013：62.

　　求和公式篇6

　　一、研究背景与目的

　　中国酒店业快速发展的今天，为了应对激烈的市场竞争，提高企业的核心竞争力，满足各种类型的客户需求，不同类型的酒店产品也不断在激烈的市场环境中应运而生，而酒店式公寓就是一个在这样的时代诞生的酒店产品。酒店式公寓是一种以住宅为基础，提供类似于酒店服务一般的物业管理和长期包租服务的投资型产品。在本研究中，作者主要以旅游为目的的租赁人士作为研究对象，并对他们的需求进行深度挖掘。由于该类类型顾客群体可选择的酒店产品范围很广，而且通常是不同类型酒店共同的目标群体，因此，如何基于他们的需求在激烈的竞争中发展差异化产品对于酒店式公寓未来的发展极为重要。与此同时，现有基于游客需求的酒店式公寓研究较少，在此前提下，此研究可以丰富酒店式公寓相关领域的理论体系。

　　本文的研究目的为：探索以旅游为目的的酒店式公寓消费者在选择酒店式公寓产品时的关键性需求，发展理论模型，并将其作为发展差异化酒店公寓产品的出发点，提高酒店公寓产品在满足客户需求方面的核心竞争力。具体的目标为：了解以游客为主要目标群体的酒店式公寓产品的内涵；探究酒店式公寓目标群体的需求和做出购买决策时的决定性考量因素；研究以旅游爱好者为主的潜在客群对酒店式公寓产品的具体需求和预期；提出度假型酒店式公寓产品的发展建议。

　　二、文献综述

　　酒店公寓（Serviced Apartment ）起源于20世纪70年代的欧洲，全称酒店服务式公寓，其初始是坐落于一些旅游休闲度假区并提供给游客临时休息的场所，由于它的统一服务、统一管理的属性，对于游客来说既有酒店的性质，又是临时的家。这种物业由专门的管理公司进行统一管理， 融合了酒店性质与临时住宅物业的特征（刘厚良，朱要武，2004）。酒店式公寓这一概念最早是由瑞士企业家亚历山大提出的时权酒店概念演变而来， 1976年第一批真正意义上的时权酒店在法国阿尔卑斯山脉地区兴起，并在欧洲迅速流行，形成了酒店式公寓的雏形（崔传樵，2003）。继欧洲之后，酒店式公寓在美国出现， 深受广大青年消费者的青睐，使得酒店式公寓迅速发展并风靡全国。

　　中国的酒店式公寓的发展始于20世纪90年代的深圳，随后发展迅猛，与商务型酒店、度假型酒店、长住型酒店、会议型酒店、观光型酒店、经济型酒店、连锁酒店在各自的领域发展，却又激烈竞争，市场呈现出多元化态势。我国现有的酒店式公寓主要由商务型、居住型、混合型三类产品组成，酒店式公寓的功能定位一般都是由它所在的区位决定的，而它的主要消费群体通常是年轻的都市白领、SOHU办公族、长期驻外的商务人士、以商务、旅游为目的短期租赁人士。

　　郑伟民，王丽蓉（2012）总结其基本特征为：酒店式公寓是居住型公寓的典型，是指物业公司提供打扫房间、预约送餐等基本酒店式服务，同时拥有私人公寓的私密性和生活风格的综合物业。酒店式公寓，用一句话概括就是“酒店式的服务，公寓式的管理”。房屋结构与布局基本类同于普通公寓房，户型从几十平方米到几百平方米不等，可以满足使用者的个性化需求，在装修上统一为精装修，提供全套的家居设计和电器。在服务上，基本服务水准都达到了3 星级酒店以上的水平，附属设施还增加了能提供餐饮、健身、商务等多种服务的会所、银行和小超市等其他项目。

　　三、研究方法

　　本研究主要采用了访谈以及内容分析法。

　　在访谈对象的选择上，我们选择了北京、南京、厦门、温州、韶关五个分布于中国不同区域的一二三线城市的25-65岁之间的300名消费者，对其进行半结构式访谈。样本的选取建立在开放原则上，受访人必须是旅游爱好者，其中包括了酒店式公寓的消费者、潜在消费者，以及酒店式公寓的管理人员三大类别。通过访谈，对相关消费者或潜在消费者对酒店式公寓产品的认知和需求进行探索和总结。

　　本研究的访谈内容主要涵盖了访者以往的相关入住经验，对酒店式公寓的认知和理解，以及影响受访者做出最终酒店式公寓入住决定的关键因素。除此之外，访谈内容中设置了一些可选的需求因素，这些因素以马斯洛的需求理论为基础。根据马斯洛的需求理论，人的需求可以分为五个基本层次，分别为生理上的需求，安全上的需求，情感和归属的需求，尊重的需求，自我实现的需求。具体到酒店式公寓顾客的需求上，基本需求是满足餐饮和住宿的设施设备等；安全需求是客人入住期间的安全保障；情感和归属需求是酒店式公寓所营造的与其它酒店产品不同的家庭氛围；尊重需求是服务人员对客人的态度以及服务水准；而自我实现需求则体现在产品的个人化定制或个性化方面。

　　为了验证访谈结论，本研究还对国内不同旅游城市中现有的酒店式公寓产品的消费者网上评价做了收集，并从中提取关键词，对不同价位的酒店式公寓现有消费者的评论进行分析，最终与深度访谈消费者的需求进行匹配和合并，并得出结论。

　　本研究运用内容分析法，选择了携程网上北京、南京、厦门、温州、韶关的不同价位的酒店式公寓14家，其中北京3家，厦门3家，南京4家，温州2家，韶关2家，5个城市规模不同导致了酒店式公寓可选择样本数量不同，收集入住评论共100条。由于我们最终需要收集的只是入住过酒店式公寓的客户需求，所以研究所选择的酒店依据随机抽样的原则，酒店价位选择尽量多元化，酒店区位选择主要在5个城市的景区周边，评论选择的原则视其对研究的有效性而定。

　　四、数据分析

　　（一）访谈分析

　　经过访谈，五个不同地区的访谈的结果（以韶关为例）总结如下：

　　在受访的60个对象中，年龄30岁以上至60岁以下，受访人群收入都在5000-10000之间，热爱旅游，或本身为旅游工作者，60人均没有酒店式公寓的入住经验。根据2013年韶关统计局数字，韶关市全市在岗职工年人平均工资为44898/年，此阶层在韶关的工薪阶层中属于中等收入。

　　在对于酒店式公寓的认知情况上，60名访谈对象中只有10人听说过酒店式公寓，没有人入住过酒店式公寓，但表示未来出游会考虑选择酒店式公寓产品。

　　在对于酒店式公寓的需求描述上，在大部分受访者的描述里出现了“家”，“厨房”，“自己下厨”“配套设施”“自由”等字眼，总结起来，大部分受访者并认为酒店式公寓应该是一个类似家的酒店，提供酒店服务，但又不完全的酒店。可以一家人入住，可以自己做饭等。功能齐全、有厨房，可以烹饪，有室、有住宿区域，价格合理，比同档次酒店的人均价格便宜。有酒店的配套服务，又有家庭住宅的亲切、随意与方便。

　　对于与传统酒店的区别上，则出现了较多“自助”，“自主性”，”家”等关键词，其中包括对于入住人数没有传统酒店那样的限制，不受床位等因素的约束，可以在合理范围内自由安排，自助的环节较多，自己可以做饭，让人放松。比传统酒店温馨，有家一样的感觉，长时间住宿能降低成本。鉴于它与传统公寓户型上的区别，私密性较传统公寓高。

　　影响受访者选择酒店式公寓产品的因素重要性选择上，前三位的影响因素分别为位置和周边环境，交通以及价格。影响因素的具体访谈内容有涉及到如下关键词：区位，如“位置离我要去游览的地方比较近（或靠近闹市区或在休闲度假的区域），附近要有购物场所，可以购买到做饭的食材”；交通，如“附近有没有车站，是否容易找到，是否容易到达”等；价格，如“价格合理，性价比较高”；氛围，如“放松和舒适的氛围，可以令家人入住倍感舒适”；设施设备，如“里面的配备是否齐全，如烹饪用具，以及必备家电”等；信息化因素，如”上网设备，及网上订房资源及便利程度”；餐饮，如“果客人想做饭，可以提供食材。不想做饭，也可以提供现成的点餐。室内也一定要干净整洁”；旅游形式，如“果只是观光旅游会选择普通酒店，或者是农家乐之类的。如果选择时度假旅游，那就可能会选择酒店式公寓，至少要住一周以上”。

　　（二）酒店式公寓网上评论分析

　　在对携程网上选择酒店入住客人评价的统计中，研究发现消费者总体对酒店式公寓产品的满意度较高，而在这100个评论里，出现的服务需求因素分别为设施、建筑与装修、服务、卫生、价格/性价比、交通、地理位置、周边餐饮、购物便利程度、外部环境、家庭因素和安全。在所有的需求方面，提到最多次的分别为设施78次，外部环境41次，以及服务40次。其中设施包括了洗衣机、厨具、Wifi、卫生间、热水器、冰箱、微波炉、床、停车场；建筑与装修包括了房屋面积、装修和设计两项。具体统计如下表：

　　从以上统计不难看出，虽然消费者有各种类别的需求，但对酒店式公寓的需求主要还是集中在设施、外部环境和服务上，其中在设施上，消费者最注重的是洗衣机、厨具和wifi。

　　五、结果讨论

　　酒店式公寓产品的分布上，主要集中在一线城市商圈或旅游城市，而在对所选5个不同城市样本的调查中，我们发现居民的性别、年龄、收入与对酒店式公寓的选择有一定的影响，但却不是绝对的，而所处区位则是一个关键因素，由于三四线城市的规范的酒店式公寓不具规模，这直接导致了消费者对酒店式公寓的认知的不充分，以致消费者在选择酒店式公寓产品的可能性变小。总体而言，随着中国经济的发展，人们消费能力的提高，酒店式公公寓也会更多发展，这就要求经营者的市埸定位也要细化，提供的产品和配套设施更加多元化，提供的服务更加个性化人性化。具体建议：

　　（一）在区位的选择上，除靠近景区外，还应考虑是否接近生活区，方便生活资料的购买和平时的休闲。

　　（二）在交通上，也要尽量接近车站。

　　（三）对于酒店本身的，生活设备的齐备是基础，同时尽可能提供便利生活的工具，并且在装潢上营造居家的氛围。

　　（四）要注意酒店的信息化：包括酒店本身的网络设备和网上搜索时被搜索到的便利性。

　　（五）在核心内容酒店式服务上，除了提供常规酒店的服务，也可以提供公寓住宅，如买菜或其他生活资料购买的服务。

　　（六）在价格上，利用消费者长期居住的优势，控制成本，提高与其他酒店在价格上的竞争力。

　　求和公式篇7

　　一、公式法

　　所谓公式法就是根据已知的数列求和公式，如等差数列和等比数列的前n项和公式、前n个正整数和的计算公式等，直接求和。

　　例1 （2102年北京市高考文科第10题）数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若 ，S2=a3，则a2=______，Sn=_______.

　　分析 先由已知条件求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式和求和公式求解。

　　解析 因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，且 .

　　例2 （2012年江西省高考文科第13题）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q不为1.若a1=1，且对任意的 都有an+2+an+1—2an=0，则S5=_________.

　　分析 由已知条件求出首项和公比，再代入等比数列的前n项和公式Sn求解.

　　解析 由条件 可得： ，即 ，解得 或 （舍去），所以 .

　　点评 等差数列和等比数列的前n项和公式是数列求和中最简单、最基本的公式，是数列求和的前提和基础。

　　二、错位相减法

　　当一个数列的项等于一个等差数列和一个等比数列对应项之积时，宜用“乘以等比数列的公比、错位相减”的方法求和。课本在推导等比数列的前n项和公式时用的就是错位相减法。

　　例3 （2012年江西省高考理科第17题）已知数列{an}的前n项和 ，且Sn的最大值为8.

　　（1）确定常数k，求an；

　　（2）求数列 的前n项和Tn.

　　分析 （1）由 的最大值为8可求常数k，再由 求an；（2）数列 可以看作是一个等差数列 与一个等比数列 对应项的积构成的数列，适合利用错位相减法求和.

　　解析 （1）当 时， 取最大值，即 ，故 ，从而 ，又 ，所以 .

　　（2）因为 ，所以 —①，将①式两边同时乘以 可得： —②，将①式与②式错位相减得： ，即 .

　　点评 运用错位相减法求数列的前n项和时，一要注意其适用的条件，即所求数列的通项=一个等差数列的通项×（或÷）一个等比数列的通项，二要正确把握其操作步骤.

　　三、倒序相加法

　　当一个数列对任意的“距首尾两项等距离的两项之和等于同一个常数”时，用倒序相加的方法求和.课本中推导等差数列的前n项和公式的方法即为倒序相加法.

　　例4 （2012年江苏高考模拟试题）函数 对任意的 都有 ，令 ，则 = .

　　分析 根据 和 的形式特点，可以考虑倒序相加法求 的表达式.

　　解析 由于函数 对任意的 都有 ，于是令 可得 ，令 可得 ，…，令 可得 ，即 对任意的距首尾两项等距离的两项之和等于2，利用倒序相加法可得： ，故 ，所以 .

　　点评 本题以函数的形式给出数列的关系，属于数列和函数的综合问题，主要考查了倒序相加法在数列求和中的应用。此外，本题亦可用合情推理的方法归纳出 的表达式，感兴趣的同学不妨自己尝试一下.

　　四、裂项相消法

　　若一个数列的通项可以根据代数变换拆裂成“两项的差”的形式，且相邻项拆裂后相关联，可考虑用裂项相消法求和。本法通过将数列的项拆裂，使拆裂后的项之间出现一些互为相反数的部分，求和时这些互为相反数的部分就可以相互抵消，从而达到化简的目的。

　　例5 （2012年高考全国卷理科第5题）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前100项和为（ ）

　　A. B. C. D.

　　分析 由于 为等差数列，所以 可以裂项成 ，故可用裂项相消法求数列 的前100项和.

　　解析 由 可得： ，即 ， ， ，故 ，故选A.

　　点评 本题通过已知数列中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和.裂项的常见形式有：① ；② ；③ 等.

　　五、并项求和法

　　有些数列（如周期数列）连续的几项之间具有明显的规律性，这时可以用并项求和的方法解决.

　　例6 （2102年福建高考文科第11题）若数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 等于（ ）

　　A.1006 B.2012 C.503 D.0

　　分析 结合余弦函数的 的周期性可知，数列 的项之间存在一定的规律性，寻求其相邻四项之和的规律性，采取并项求和的方式解决.

　　解析 因为函数 的周期是4，且 ， ， ， ，所以 （ ），即数列 的每相邻四项之和是一个常数2，所以 .故选A.

　　点评 本题主要考查数列求和问题，其突破的关键找到规律、并项求和.

　　六、分组求和法

　　当一个数列整体上可以分为有规律的几个部分时，采取分组求和的方法.这种情况主要有如下两种典型问题：①数列的通项等于一个等差数列的通项加上一个等比数列的通项，或等于两个不同的等比数列的通项的和，可采取分组求和，各组的和分别利用等差（比）数列的求和公式求解；②数列的奇偶数项具有不同的变化规律，可将数列的奇数项和偶数项分别求和.

　　例7 （2012年山东省高考理科第20题）在等差数列 中， .

　　（1）求数列 的通项公式；

　　（2）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 .

　　分析 （1）根据已知条件列出关于首项和公差的两个方程，解出基本量，代入通项公式可得 ；（2）欲求 ，关键是解关于n不等式 ，得到 的表达式之后再选择合适的方法求和.

　　解析 （1）由a3+a4+a5=84，a5=73可得： 而a9=73，则 ， ， ，于是 ，即 .

　　（2）对任意m∈N﹡， ，则 ， 即 ，而 ，由题意可知 ，

　　于是

　　，即 .

　　求和公式篇8

　　一、服务型政府要求加强公务员伦理道德建设

　　服务型政府本质上是以公共服务精神为主导的法治行政和科学行政，其目标的设定，意味着政府发展的全新变革，涉及到政府管理中的一系列重要问题的变革与调整，如：政府与公民的关系需要重新调整，政府职能体系需要重新整合，政府的回馈机制需要高度灵敏,政府绩效的评估标准需要变革，政府的运作方式需要实现科学化与民主化等。这些问题解决不好，将制约服务型政府目标的实现,影响政府的服务能力与服务水平。这些问题的解决，最终必然归结到公共行政的主体一各级公务员，而服务型政府的特定价值目标一公共服务,使公务员的伦理道德问题更加凸显。具体来说，加强公务员伦理道德建设有利于从目标、方式及服务关系方面构建服务型政府。

　　(一）加强公务员伦理道德建设有利于政府服务目标的实现。服务型政府的基本目标就在于为社会公众提供高效率、低成本的公共产品和公共服务。实现这一目标,政府需要建立法治的机制、科学的机制和民主的机制。显而易见，这些机制得以运转的基础是每个具体的公务员，因此公务员的伦理道德状况将直接影响这些机制的实际运作情况。可以想象，一旦公务员伦理道德出现失范，提供优质公共服务的目标必然会发生严重的扭曲。因此对于任何行政体系而言，行政的法治化、科学化、民主化、道德化都是一个整体，失去了其中的任何一个方面，其他方面都无从保证。只有加强公务员伦理道德规范，才能完善行政体系的整体建构，为提供高效、优质、低成本的公共服务奠定基础。

　　(二）加强公务员伦理道德建设有利于政府服务方式的创新。建设服务型政府，必须努力实现政府服务方式的创新,提升政府公共服务的能力和水平。比如运用电子政务的方式提高对社会信息的了解能力和回应能力，利用社会听证方式深度了解社会各界对于政府公共服务的需求等。实现行政方式的创新很大程度上依赖于公务员的主动性和自觉性,根本上取决于公务员伦理道德的状况。因此，只有通过强化公务员伦理道德建设，突出政府公共产品及公共服务提供者的基本定位，才能提高公务员应用新的服务方式的主动性,培养其创新服务方式的自觉性,最大限度地提高政府的公共服务水平。

　　(三）加强公务员伦理道德建设有利于政府服务关系的重建。在传统的管理型、命令型的政府模式下，政府是社会生活的中心,公务员的服务者角色仅仅停留在字面上和口头上，与社会公众应有的服务关系在实践中并没有得到有效体现。服务型政府强调社会与公民本位，因此构建服务型政府必须重建服务关系，理顺政府与社会、市场和公民的关系。这就要求转变在管理型、命令型政府模式下形成的行政意识和态度,从而使公务员真正将自己定位于服务者的角色。实现行政意识与态度的转变，必须注重公务员伦理道德规范建设，只有这样，才能逐步培养符合服务型政府要求的行政意识和态度,推进服务型政府模式下服务关系的形成。

　　二、服务型政府对公务员伦理道德建设的新要求

　　服务型政府的本质是为公众服务,相对于管理型、权力型、命令型政府，服务型政府必须实现从政府理念、功能塑造到行政运行方式等一系列的转变。具体而言,在政府理念上,要树立为公众服务的理念。政府的管理理念决定着政府的行为，树立为公众服务理念是建设服务型政府的前提条件,政府—定要注重保障民权、尊重民意、关注民生、开发民智等与公众相关的问题。在政府功能的塑造上，要突出强化公共服务职能。政府职能问题是政府管理的核心问题。建设服务型政府，必须明确并强化公共服务职能，向公众提供公共产品和服务，包括加强城乡公共设施建设，发展社会就业、社会保障服务和教育、科技、文化、卫生、体育等公共事业，为公众生活和参与社会经济、政治、文化活动提供保障和创造条件。在政府的行政运行方式上，要努力改进政府管理手段和行为方式。重新定位政府角色，政府要从经济建设的领导者和指挥者地位上退下来，成为经济发展方向的指引者、经济关系的协调者和公共服务的供给者，做“精明的导航员”、“公正的裁判员”和“忠实的服务员”。服务型政府所要求的一系列转变，使其相对于传统政府模式，表现出强调民主与责任、突出法治与诚信、体现公正与公开、注重高效与廉洁的基本特征。这也就要求全新的公务员的伦理道德体系与之相适应。具体而言，这种新的伦理道德要求表现在以下几个方面：

　　(一）服务型政府要求在公务员伦理道德建设中注重培养自觉服务的态度。服务型政府采取以公民需求为导向的运作模式,必然会对政府各级公务员提出较高标准的服务要求，而公务员提供服务的态度，即是自觉地主动提供还是消极地被动回应，会对公共服务的品质产生巨大的影响。显然，自觉服务态度的培养，不可能通过法律制度来规范,更不可能通过行政命令的手段来实现，真正使公务员具备自觉服务的态度，是公务员伦理道德建设领域中需要和能够解决的问题，也是对服务型政府建设的积极响应。因此,在公务员伦理道德建设中必须注重培养其自觉服务的态度。同时也应看到，这是一个比较长的过程，绝不能盲目求快，否则很容易流于形式。

　　(二）服务型政府要求在公务员伦理道德建设中积极倡导主动创新的精神。服务型政府以提供高效优质服务为基本目标,事实上，这一目标的设定，本身就意味着政府在运作过程中，必须提倡创新能力的发挥，因为只有不断地创新，才能适应社会发展的新形势,满足公民的新需求。然而，出于公务员队伍稳定性的考虑,公务员管理法规中对公务员的主动创新要求几乎很少提及。随年功稳步增长的工资与升迁机会，导致公务员普遍形成不求有功、但求无过的心态。这也就不难理解，为何公务员稳健有余而创新不足，几乎成为困扰各国政府的难题。只有在公务员伦理道德建设中积极倡导主动创新的精神才能化解这一难题，推动公务员在公共服务领域发挥创新能力。

　　(三)服务型政府要求在公务员伦理道德建设中逐步确立平等协商的意识。服务型政府的根本价值诉求在于服务社会、服务公民。换言之,服务型政府发挥功能的基本前提在于对社会和公民意愿的准确把握，并在充分协商的基础上形成服务共识。这也就意味着服务型政府在公共产品提供的类型和公共服务提供的形式上，必须改变传统政府运作模式下事实上存在的以政府公务员的价值取向和偏好为基点的方式,真正满足社会和公民的需求意愿。显而易见,这就要求公务员在公共服务过程中，必须具备良好的沟通和协商意识。因此，在公务员伦理道德建设中要逐步确立平等协商的意识，这是政府提升服务满意度的重要基础之一。

　　(四）服务型政府要求在公务员伦理道德建设中突出强调廉洁奉公的操守。廉洁奉公的职业操守，是任何一个政府对于公务人员伦理道德的普遍要求，对于服务型政府而言，这一点表现得尤为重要。服务型政府的公共服务导向，决定了其评估一切公务活动的基本标准即在于公共利益的实现和公共需求的满足，公共性是服务型政府的本质属性。因此，服务型政府强调以公共利益为基本的价值依归，而公务员在公务活动中追求私人利益的一切行为都必须是严格拒斥的。基于此，服务型政府对公务员的职业操守问题尤为关注，在公务员职业道德建设中通过对廉洁奉公操守的高度强调，可以形成明确的价值导向，这也是法律规范事后惩戒所无法替代的。

　　三、按照服务型政府的要求加强公务员伦理道德建设

　　面临服务型政府提出的新要求，各级政府部门必须努力加强公务员的伦理道德建设。由于伦理道德建设具有长期性和渐进性,必须努力实现公务员伦理道德建设的制度化，建立健全各项机制，并且营造有利于培养公务员伦理道德建设的行政文化氛围，潜移默化地提升公务员伦理道德水平。

　　(一）完善制度规范,形成公务员伦理道德建设的长效机制。公务员伦理道德建设必须有长效机制来保证,不能搞成短期的形式。这就要求将公务员伦理道德建设纳入法治化轨道，以法律规范明确公务员伦理道德的基本要求。同时,在一定程度上也可以改变伦理道德要求只是依靠习惯、舆论等软约束来维系的现状。目前世界上绝大多数国家都制定了公务员行政伦理法,我国目前还没有明确统一的公务员行政伦理道德规范,更没有专门的公务员行政伦理法。《中华人民共和国公务员法》对这一方面作了改进，但是仅限于原则性规定，还没有起到应有的作用。服务型政府构建的实践发展，需要制定一部有中国特色的公务员行政伦理法。只有这样，才能将公务员伦理道德建设纳入法治化轨道,推动服务型政府的发展，更好地适应完善社会主义市场经济发展的现实需求。

　　(二)创建政府内部优良行政文化体系，形成公务员伦理道德建设的内部培养机制。优良的行政文化体系,对于提高公务员伦理道德水平具有独特的作用。伦理道德建设从广义上也可以纳入行政文化建设的范畴。伦理道德建设本质上是要塑造公务员的公共道德情操和精神价值追求，必须关注这一过程的内在发展规律，才能取得比较好的实际效果。适应服务型政府需求的公务员伦理道德，突出强调公务员的自觉性与主动性，所以这种道德素质的养成，绝不能只是依赖于法律规范，而是应该注重行政文化的潜在和长期影响。通过优良的行政文化的创建,使政府部门形成积极向上、变革创新、勇于承担的良好氛围，从而提高公务员的伦理道德水平，使公务员真正形成自觉主动的精神，变法律法规的他律为道德精神的自律。

　　求和公式篇9

　　关键词：构造； 辅助数列； 等差数列； 等比数列

　　数列的通项公式，揭示了数列的项与序号之间的内在联系，并以一个函数的形式概括出一般规律。数列的通项公式是数列概念的重点内容，依据一定的条件求数列的通项公式则是数列概念的难点。

　　已知数列的递推关系式求其通项公式，除了采用等差、等比数列的定义和“归纳―猜想―证明”的思路外，通常还可以考虑对递推关系式进行恒等变形、化简，构造辅助数列，从而转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列来求解。另外，也可以考虑将递推关系式变形，利用叠加法、叠乘法求得。其中，“归纳―猜想―证明”的思路的第三步必须用数学归纳法进行证明。但是，数学归纳法在近几年高考中的考察力度降低，有弱化的趋势。而利用等差或等比数列的定义求通项公式又比较简单。因此，由数列的递推关系式求通项公式，应重视后两种思路。

　　借助辅助数列求数列的通项公式，实际上是通过换元将问题转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列问题，充分体现了数学中非常重要的换元、转化和化归思想。

　　下面，我通过几个例题来谈一下构造辅助数列求数列的通项公式的方法。希望各位老师批评指正。

　　题型一：

　　递推关系式形如 或 （其中p，q是常数，且 ）的求通项公式问题，当 时，数列 是等差数列；当 时，用待定系数法构造以 为公比的等比数列，将等比数列的通项公式变形即得所求数列得通项公式。

　　例1.已知数列 满足 ，且 ，求 .

　　解：设 ，即 ，

　　与已知 比较知c=1.

　　，

　　数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。

　　，故 。

　　点评：一般地，形如 的递推公式，当 时，可转化为 .从而构造出以 为公比的等比数列 .

　　另外，也可将 与 作差，再构造出以 为公比的等比数列，同样能得出结果。如以下的解法二：

　　解法二： ①

　　②

　　②-①得：

　　设 ，则

　　数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。

　　，即

　　，整理得： .

　　例2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。

　　解：设 ，则

　　.

　　与已知 相比较得 ，故

　　.

　　及 ，则 .

　　数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，

　　，故 .

　　例3.设数列 满足 ，求 .

　　解：设 则 将 代入递推式 ，

　　取 ①

　　则 ，又 ，故 代入①得： .

　　说明：若 二次式，则可设 .

　　题型二：递推关系式为 （p，q均为常数， ）可先在原递推关系式两边同除以 ，得： ，构造辅助数列（其中 ），得： ，再应用题型一的方法解决。

　　例4. 已知数列 中， ，求 .

　　解：在 两边乘以 得：

　　，

　　令 ，则 ，

　　应用例1解法得： ，

　　所以

　　点评：求解该题型的问题，也可以考虑直接用待定系数构造等比数列。

　　题型三：递推关系式为 （其中p，q是不为0的常数），则用倒数法将递推关系式变形，再构造等差或等比数列求数列通项公式。

　　例5.数列 中，若 ， ，求 .

　　解： ，

　　，

　　即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，

　　，即 。

　　例6.在数列 中，若 ， ，求 .

　　解： ，

　　，

　　令 ，则 ，

　　利用题型一的方法知， ，则

　　点评：该题型的问题中，注意分式的分子比分母简单，所以考虑等式两边同时取倒数，再用通分的逆运算整理等式，最后构造辅助数列即可。

　　题型四：递推关系式为 （其中p，r为常数，且 ），用对数法构造等差、等比数列求数列通项公式。

　　例7.在数列 中，若 ， ，求 .

　　解： ，

　　，

　　对 两边取以3为底的对数得

　　，

　　数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，

　　，即 。

　　点评：应用对数的运算律，巧妙的将次数转化为系数。

　　题型五：递推关系式由 与 的关系给出，可利用 构造等差或等比数列求数列通项公式

　　例8.已知数列 的前n项的和为 ，且满足

　　，又 ，求 .

　　解： 时，有 ，

　　由 ，得

　　即 ，亦即 ，

　　数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，

　　，则

　　故当 时，

　　显然上式对 时不成立，则

　　点评：该例题中，先构造出等差数列 ，再通过前 项和 求出通项 。

　　著名数学家、教育家波利亚有句名言：“掌握数学就意味着要善于解题。”数学的学习要通过解答问题来培养学生思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐渐形成运用数学知识来分析问题和解决问题的能力。另外，还要注意培养学生的观察能力、记忆能力和理解能力等等。已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多。在具体问题中，我们要引导学生根据具体问题中已知的递推公式形式、特点等进行认真分析，然后选择合理的变形，巧妙地构造辅助数列，往往能收到意想不到的效果。

　　参考文献

　　[1] 唐国庆等.高中数学巧思精解专题训练[M].长沙：湖南教育出版社，1999.

　　[2] 单文海.中学数学解题思想方法技巧[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.

　　[3] 刘增利等.高中数学教材知识资料包[M].北京：北京教育出版社，2007.

　　[4] 陈树礼.数列通项公式的三种求法[N].考试报高考数学，2006-2007.

　　求和公式篇10

　　一、教材内容分析

　　高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法――分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。

　　二、学生分析

　　大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。

　　通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。

　　根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。

　　三、教学目标

　　1.知识目标

　　1.1理解分部积分公式的定义，掌握分部积分法的实质。

　　1.2会正确使用分部积分法来求不定积分。

　　2.能力目标

　　2.1培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

　　2.2培养学生的归纳与总结能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

　　2.3培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析与类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

　　3.情感目标

　　3.1通过以学生为主体的教学方法，让学生自己发现分部积分法的求解规律，发展体验获取知识的感受。

　　3.2通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于探索，多方位审视问题的创新品质。

　　四、教学重点与难点

　　重点：分部积分公式的概念及运用分部积分公式求解的关键。

　　难点：如何选择和，即如何将被积式分为两部分，一部分是，另一部分是。

　　五、教学方法与学法

　　1.教法选择

　　根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用。

　　在帮助学生回顾了换元积分法的知识点之后，引导学生通过分析被积函数的组成形式，自己归纳、总结出分部积分法的求解方法和步骤。让学生主动地发现问题并解决问题，从中获得知识，老师只是进行适当的引导，所以采用启发诱导式的教学模式。

　　2.学法指导

　　对于求积分，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是能不能找到另一种积分法，使其能更适用于求被积函数为两个函数乘积的不定积分。教学设计中要注意激发起学生强烈的求知欲，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中，充分发挥他们的主体作用。

　　六、教学过程

　　1.创设情境，引入新知

　　在本章的前一节，我们已经学习了不定积分的换元积分法，掌握了第一换元和第二换元法的要领。下面，我们就用学过的知识先来讨论一道例题。

　　引例[1] 求不定积分 。

　　观察发现此题的被积函数为两个不同函数的乘积，且无法直接查基本积分表求出不定积分，所以考虑直接用换元积分法试一试。由 ，

　　作变量代换 ，则 ；或由 ，作变量代换 ，则 ，而这两种结果仍不易求得原函数。这就提出了一个新的问题――能不能找出另一种求不定积分的方法可以很方便地来解决形如引例的积分呢？

　　首先，让同学们利用函数乘积的微分公式来验算 的导数，即

　　将上式两边求积分得到 。这就求出了上述引例的结果。

　　其次，引导学生从分析等式 中找出规律。

　　由 得到 ，而等式的左边正是 ，于是移项直接得到 。由此可看出，通过函数乘积微分公式的逆运算，我们可以求得一个不定积分的原函数，下面将其过程抽象为一般情形。

　　一般地，有

　　（ 、 均为 的函数）

　　故

　　即 。

　　可见求某式的不定积分，在一定条件下可以转换成求另一式的不定积分。而这一思想提供了寻找原函数的另一种方法，我们称之为“分部积分法”（integration by parts）。

　　1.1分部积分公式的定义

　　定理3.1[1]（分部积分法） 若 与 可导，不定积分 存

　　在，则 也存在，并有

　　. ⑴

　　证 由

　　或

　　对上式两边求不定积分，就得到⑴式。

　　公式⑴称为分部积分公式，常简写作

　　或 . ⑵

　　1.2分部积分公式的作用

　　结合引例分析分部积分式，可发现公式⑵对求积分有很大的作用。

　　公式⑵左右两端的 和 调换了位置，即将所求的不定积分转换为求另一个不定积分。

　　如果发现积分 有困难，而 容易计算时，利用分部积分公式就可以起到化难为易的作用。

　　2.运用新知，解决问题

　　例1[2] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 与正弦函数 的乘积，那么如何运用新知识分部积分公式来求解呢？根据公式⑵知道，首先要找出 和 ，才能代入公式计算结果。由于 ，所以让学生们可以先尝试着选 ， 。

　　解 令 ， ，则有 ， 。由公式⑵求得

　　本题中，若由 ，选 ， ，则有 ，。

　　由公式⑵得

　　显然积分 比原积分 更难积出，这是由于第二种选择 和 的方法不正确，使得积分更难进行下去。

　　例2[3] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 与指数函数 的乘积，同样要先选择

　　和 ，再代入公式计算。由于 ，所以可先选 ， 。

　　解 令 ， ，则 ，由公式⑵求得

　　同样，若根据 ，我们也可以选 ， ，则由公式⑵求得

　　可以看到等式右端的积分 比原积分 还复杂且更难积出，因此这样选取 和 是不合适的。

　　总结 由例1、例2的求解过程，引导学生思考：要成功地运用分部积分公式，其关键是什么？（答）关键是恰当地选择 和 。这是因为应用分部积分公式的目的是为了将难以积分的 变成容易积分的 。若

　　和 选择不当，积分会变得越来越复杂，甚至积不出来。所以一般来说，选择 和 的原则遵循：⑴ 从 中容易求原函数 ，⑵ 新积分 比原积分 容易积出。另一方面，由上面两个例子还可让学生分析得出，若被积函数是多项式函数和三角函数或多项式函数和指数函数的乘积，一般考虑设多项式函数为 ，使其降幂一次。

　　例3[1] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 和对数函数 的乘积，由于基本积分公式表中没有形如 的积分公式，因此可设法把被积函数中的

　　有理化。根据 ，此题应令 等于 。

　　解 令 ， ，由公式⑵有

　　例4[1] 求积分 。

　　分析 被积函数可视为1和反正切函数 的乘积，同样基本积分公式表中没有形如 的积分公式，故考虑设法把被积函数中

　　的有理化，由于 ，此题应设 等于 。

　　解 令 ， ，由公式⑵有

　　总结 由例3、例4不难发现，若被积函数是多项式函数和对数函数或多项式函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 ，这样使用一次分部积分公式就可以使被积函数降次、简化、代数化、有理化，即分部积分法常用于消去积分中的反三角函数和对数函数。

　　由以上各例，我们看到，运用分部积分公式 求积分时，一般分为四步：

　　第一步：“选 、 ”，即选取 和 ，把所求积分 改写成 。

　　第二步：“代公式”，即利用分部积分公式化出一个新的积分 ，它与所求积分 相比，不过是把 、 互换了位置。

　　第三步：“微出来”，即把化出的新积分 中的 微出来，使之成为

　　以便计算。

　　第四步：算积分 。

　　这四步中最关键的是如何选取 和 。

　　例5[1] 求不定积分 。

　　分析 被积函数是指数函数 和三角函数 的乘积，由于有

　　和 ，所以我们考虑问题时可选 或 。

　　解 [解法一]令 ， ，由公式⑵有

　　移项得

　　[解法二] 令 ， ，由公式（2）有

　　移项得

　　分析此题的两种解法，容易看出当被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可将指数函数设为 ，也可将三角函数设为 ，这两种方法难易程度相当。另外，像这种积分在反复使用分部积分法的过程中出现了还原的现象，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分，且最后一定要加上积分常数 。

　　3.课堂小结，布置作业

　　这节课我们主要学习了如何运用分部积分法来求解不定积分，知道了分部积分法特别适用于求被积函数为两个函数乘积形式的积分。在课堂上通过对不同题型的例题的讲解和分析，掌握了选择 和 要遵循的一般原则，并初步找出了选择 和 的规律，这个规律与被积函数的形式之间存在着很大的联系。下面我们将被积式中的函数按照求原函数的难易程度作分类，可得函数分类表（表1）。

　　表1：函数分类表

　　根据表1，对于被积函数中的两个不同函数，一般地，将居于左列的函数取为 ，而位于右列的函数就作为 。如例1 中，多项式函数 位于第二列（居左），三角函数 位于第三列（居右），于是，取 ，

　　；若被积函数位于同一列（如例6 ），则 、 的选取是任意的。