看《三体》,聊“三体”

栏目:影视资讯  时间:2023-01-17
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  本文作者:刘瑞祥,[遇见数学]感谢刘老师一直来关注支持!

  等了 N 年的《三体》动画,终于上演了。我们来粗略了解一下所谓的三体问题。

  三体问题,就是说三个通过万有引力互相影响的天体,因为质量的不同,以及初始时刻的运动状态不同,会形成复杂到无法求解的运动轨迹。注意,可能天体在开始时微小的差异就能导致后面的天差地别。这就是《三体》一书对三体世界外星人的基本设定。这个设定让三体世界的外星人无比苦恼。正当这些外星人想办法移民外星球却没有目标的时候,地球人叶文洁却和他们(它们?)联系上了,因此三体外星人决定移民地球。这就是这部作品的背景。

  叶文洁为什么要出卖整个地球?她是怎么和三体人联系上的?那条“审判者号”和叶文洁什么关系?这些内容和本文无关,本文只说数学。

  

  有人会说,牛顿定律不是确定性的吗,怎么会像书里说的那样无法计算呢?没错,牛顿定律是确定性的,原则上说,只要给定三个天体的质量,还有某个初始时刻天体的位置和速度,就能够预言这之后每个时刻的情况。但这只是理想情况:从最初等、最容易被人理解的角度来说,我们对初始时刻的测量会有误差,所以这些数据并不可靠。当然,如果这点误差对今后的计算影响很小,那倒不足介意,但是三体问题不是这样,这点误差会带来很严重的问题。

  

  

  ▲ 上海交通大学教授廖世俊团队及合作者发现的三体运动周期轨道

  三体问题是这样,那么“多体”问题就更严重了。这时可能有人会问,我们的太阳系里有很多天体,彼此以万有引力联系,为什么科学家能预测日食、月食这些现象?更进一步说,太阳系已经安全运行了多少亿年,为什么没有发生严重事故?严格的说,太阳系当然是一个多体系统,但是大家不要忘记了,这里只有一个真正起决定作用的大家伙——太阳。其他天体加在一起也远远小于它。这使得很多万有引力的影响根本“不值得”计算。

  一般情况下的三体问题没有解析解,那该怎么研究呢?

  方法一是数值计算,这是很多无法得到解析式的问题的解决方法,天气数值预报就是一例。就三体问题来说,我们以某一时刻的天体位置和速度为已知条件,求出一小段时间之后的天体新位置、新速度,再以刚刚得到的新位置、新速度,得到在经过一小段时间后的第二个新位置、新速度,由此一点点向前推。这种方法的问题是前面已经讲过的误差带来的累积影响:你以为可以计算出一年之内的天体运动情况,但实际上可能半年之后的数据误差就已经不能用了。所以这种方法计算出来的数据要经常和实测数据相比对,及时纠正过大的误差。

  方法二是研究哪些情况下会有稳定解。对于任意的质量比和任意初始条件,肯定不能得到一般情况下的解析解,但是如果所给的质量、初始条件都“恰到好处”呢?虽然现实中这种情况极为罕见,但毕竟也是一种值得研究的情况。

  方法三是用理论力学进行求解。“理论力学”这个名词听上去就那么的高大上,但遗憾的是它也无能为力,因为无法列出足够多的方程。从初等数学的角度来说,我们知道有几个自变量就要有几个方程,否则无法得到唯一的解。其实高等数学里也变量越多需要的方程越多,但是很可惜,三体问题能得到的方程数量比较少。

  在实际计算中,可以对三体问题作一些限制,比如设其中一个天体质量很小(或者很大)。发射登月飞船就是这样的例子,尽管飞船的质量很大,但是相比地球和月球的质量来说毕竟很小,我们可以只计算地、月对飞船的影响,而忽略飞船对地、月的影响。在研究太阳系的情况时,也可以只考虑太阳对其他天体的影响,虽然会有误差,但是已经可以解释很多问题。不知道大家对以上内容是否满意。

  

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