看《三体》，聊“三体”

　　本文作者：刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来关注支持！

　　等了 N 年的《三体》动画，终于上演了。我们来粗略了解一下所谓的三体问题。

　　三体问题，就是说三个通过万有引力互相影响的天体，因为质量的不同，以及初始时刻的运动状态不同，会形成复杂到无法求解的运动轨迹。注意，可能天体在开始时微小的差异就能导致后面的天差地别。这就是《三体》一书对三体世界外星人的基本设定。这个设定让三体世界的外星人无比苦恼。正当这些外星人想办法移民外星球却没有目标的时候，地球人叶文洁却和他们（它们？）联系上了，因此三体外星人决定移民地球。这就是这部作品的背景。

　　叶文洁为什么要出卖整个地球？她是怎么和三体人联系上的？那条“审判者号”和叶文洁什么关系？这些内容和本文无关，本文只说数学。

　　有人会说，牛顿定律不是确定性的吗，怎么会像书里说的那样无法计算呢？没错，牛顿定律是确定性的，原则上说，只要给定三个天体的质量，还有某个初始时刻天体的位置和速度，就能够预言这之后每个时刻的情况。但这只是理想情况：从最初等、最容易被人理解的角度来说，我们对初始时刻的测量会有误差，所以这些数据并不可靠。当然，如果这点误差对今后的计算影响很小，那倒不足介意，但是三体问题不是这样，这点误差会带来很严重的问题。

　　▲ 上海交通大学教授廖世俊团队及合作者发现的三体运动周期轨道

　　三体问题是这样，那么“多体”问题就更严重了。这时可能有人会问，我们的太阳系里有很多天体，彼此以万有引力联系，为什么科学家能预测日食、月食这些现象？更进一步说，太阳系已经安全运行了多少亿年，为什么没有发生严重事故？严格的说，太阳系当然是一个多体系统，但是大家不要忘记了，这里只有一个真正起决定作用的大家伙——太阳。其他天体加在一起也远远小于它。这使得很多万有引力的影响根本“不值得”计算。

　　一般情况下的三体问题没有解析解，那该怎么研究呢？

　　方法一是数值计算，这是很多无法得到解析式的问题的解决方法，天气数值预报就是一例。就三体问题来说，我们以某一时刻的天体位置和速度为已知条件，求出一小段时间之后的天体新位置、新速度，再以刚刚得到的新位置、新速度，得到在经过一小段时间后的第二个新位置、新速度，由此一点点向前推。这种方法的问题是前面已经讲过的误差带来的累积影响：你以为可以计算出一年之内的天体运动情况，但实际上可能半年之后的数据误差就已经不能用了。所以这种方法计算出来的数据要经常和实测数据相比对，及时纠正过大的误差。

　　方法二是研究哪些情况下会有稳定解。对于任意的质量比和任意初始条件，肯定不能得到一般情况下的解析解，但是如果所给的质量、初始条件都“恰到好处”呢？虽然现实中这种情况极为罕见，但毕竟也是一种值得研究的情况。

　　方法三是用理论力学进行求解。“理论力学”这个名词听上去就那么的高大上，但遗憾的是它也无能为力，因为无法列出足够多的方程。从初等数学的角度来说，我们知道有几个自变量就要有几个方程，否则无法得到唯一的解。其实高等数学里也变量越多需要的方程越多，但是很可惜，三体问题能得到的方程数量比较少。

　　在实际计算中，可以对三体问题作一些限制，比如设其中一个天体质量很小（或者很大）。发射登月飞船就是这样的例子，尽管飞船的质量很大，但是相比地球和月球的质量来说毕竟很小，我们可以只计算地、月对飞船的影响，而忽略飞船对地、月的影响。在研究太阳系的情况时，也可以只考虑太阳对其他天体的影响，虽然会有误差，但是已经可以解释很多问题。不知道大家对以上内容是否满意。