乘法各部分间的关系，乘法结合律，积的变化规律

　　乘法各部分间的关系

　　乘法

　　求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。

　　乘法的运算符号用“x”表示,读作“乘”,用字母表示为:a×b=n,其运算结果称为积,a和b叫作a,n既是a的倍数也是b的倍数。一个数的几倍就表示这个数与几相乘。

　　公式定律

　　积=因数×因数

　　一个因数=积÷另一个因数

　　例1：求未知数x:x×36=252

　　■思路点拔：根据一个因数=积÷另一个因数，进行计算。

　　■解：x×36=252

　　x=252÷36

　　x=7

　　例2：计算305×64,并用除法验算。

　　■解：305×64=19520

　　×

　　305

　　64

　　1220

　　1830

　　19520

　　验算:(1)

　　305

　　64

　　√19520

　　192

　　320

　　320

　　0

　　(2)

　　64

　　305

　　√19520

　　1830

　　1220

　　1220

　　0

　　■注意：如果用积除以一个因数,结果等于另一个因数,说明计算正确。

　　例3：如果△×■=○,那么下面的算式

　　中哪几个是正确的?(△,■,○都不为0)

　　(1)■÷○=△

　　(2)○×△=■

　　(3)○÷△=■

　　(4)■+○=△

　　(5)○-■=△

　　(6)△=○÷■

　　■解：根据乘法各部分间的关系,可以判断(3)(6)是正确的。

　　乘法交换律

　　两个数相乘,交换因数的位置,积不变。这叫作乘法交换律。

　　公式定律

　　a×b=b×a

　　运用辅导

　　例1：29×41=41×29

　　■注意：运用乘法交换律。

　　例2：计算47×58,并用乘法验算。

　　■解：

　　47

　　×

　　58

　　376

　　235

　　2726

　　验算：

　　58

　　×

　　47

　　406

　　232

　　2726

　　■注意：利用乘法交换律,交换因数位置再算一遍,可检验计算结果。

　　乘法结合律

　　三个数相乘,可以把前两个数相乘,再与第三个数相乘;或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,它们的积不变。

　　公式定律

　　(a×b)×c=a×(b×c)

　　运用辅导

　　例1：计算:39×5×2

　　■解：39×5×2

　　=39×(5×2)

　　=39×10

　　=390

　　■注意：直接运用乘法结合律。

　　例2：计算:32×125

　　■思路点拨：把32看作4×8,根据乘法结合律把8与125先相乘,再乘4,这样计算简便。

　　■解：32×125

　　=4×8×125

　　=4×（8×125）

　　=4×1000

　　=4000

　　例3：计算:25×3×4×5

　　■思路点拨：这道题先利用乘法交换律,交换3与4的位置,再根据乘法结合律,把25与4,3与5结合先乘,再把所得的积相乘。

　　■解：25×3×4×5

　　=(25×4)×(3×5)

　　=100×15

　　=1500

　　■注意：乘法交换律与乘法结合律经常同时使用。

　　乘法分配律

　　两个数的和与一个数相乘,可以把这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,这叫作乘法分配律。

　　公式定律

　　（a+b）×c=a×c+b×e

　　运用辅导

　　例1：计算:17×103

　　■思路点拔：把103看作100与3的和,利用乘法分配律使计算简便。

　　■解：17×103

　　=17×(100+3)

　　=17×100+17×3

　　=1700+51

　　=1751

　　例2：计算:99×42+42

　　■思路点拔：把42看作42×1,则原式=90×42+42×1,然后反用乘法分配律,使计算简便。

　　■解：99×42+4

　　=99×42+42×1

　　=42×(99+1)

　　=42×100

　　=4200

　　例3：计算:158×27+79×158-158×6

　　■解：158×27+79×158-158×6

　　=158×(27+79-6)

　　=158×100

　　=15800

　　■注意：(1)乘法分配律可以扩展到几个数的和或差与一个数相乘,可以用这个数分别与另几个数相乘,再把积相加或相减。

　　(2)乘法分配律经常反用可以使计算简便。

　　积的变化规律

　　1.一个因数扩大若干倍,另一个因数相应地缩小到原来的若干分之一,积不变;或一个因数缩小到原来的若干分之一,另一个因数相应地扩大若干倍,积不变。

　　观察下面算式,你会发现规律：

　　(1)

　　63

　　×

　　2

　　=

　　126

　　↓

　　↓

　　缩小到原来的1/3（注：3分之1）

　　扩大3倍

　　↓

　　↓

　　21

　　×

　　6

　　=126

　　编辑

　　(2)

　　4

　　×

　　36

　　=

　　144

　　↓

　　↓

　　扩大6倍

　　缩小到原来的1/6（注：6分之1）

　　↓

　　↓

　　24

　　×

　　6

　　=

　　144

　　2.一个因数扩大若干倍,积也扩大相同的倍数;一个因数缩小到原来的几分之几,积也缩小到原来的几分之几。

　　观察下面几组算式,你会发现规律：

　　(1)

　　2

　　×

　　3

　　=

　　6

　　↓

　　↓

　　↓

　　扩大2倍

　　不变

　　扩大2倍

　　↓

　　↓

　　↓

　　4

　　×

　　3

　　=

　　12

　　(2)

　　4

　　×

　　8

　　=

　　32

　　↓

　　↓

　　↓

　　不变

　　缩小到原来的1/4（注：4分之1）

　　缩小到原来的1/4（注：4分之1）

　　↓

　　↓

　　↓

　　4

　　×

　　2

　　=

　　8

　　(3)

　　12

　　×

　　16

　　=

　　192

　　↓

　　↓

　　↓

　　缩小到原来的1/3

　　缩小到原来的1/4

　　先缩小到原来的1/3（注：3分之1）

　　再缩小到原来的1/4（注：4分之1）

　　一共缩小到原来的1/3×1/4=1/12

　　↓

　　↓

　　↓

　　4

　　×

　　4

　　=

　　16

　　(4)

　　12

　　×

　　16

　　=

　　192

　　↓

　　↓

　　↓

　　缩小到原来的1/3

　　扩大2倍

　　先缩小到原来的1/3（注：3分之1）

　　再扩大2倍

　　一共缩小到原来的1/3×2=2/3

　　↓

　　↓

　　↓

　　4

　　×

　　32

　　=

　　128

　　运用辅导

　　例1：两个数的积是14,如果一个因数扩大5倍,要使积不变,另一个因数应怎样变化？

　　■解：根据积不变规律,另一个因数应缩小

　　到原来的1/5。

　　例2：小明在计算一道乘法题时,把其中的一个因数扩大了4倍,结果积是28,想一想这道题的积应是多少。

　　■思路点拨：根据一个因数扩大几倍,积也扩大相同的倍数,所以28是扩大4倍后的积。那么原来的积就是把28缩小到原来的1/4。

　　■解：28÷4=7

　　答:这道题的积应是7。

　　例3：两个因数的积是48,小明把其中的

　　一个因数扩大4倍,把另一个因数缩小到原来的

　　1/3,想一想小明计算后的积是多少。

　　■解：48×4×1/3=64

　　■注意：解决这类问题时,只要遵循一个因数扩大几倍,积扩大相同的倍数;一个因数缩小到原来的几分之几,积也缩小到原来的几分之几就可以了。

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