小升初数学专题｜分数裂项计算突破，抓住这些特征形式，轻松搞定

　　小升初数学中分数裂项的计算知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

　　

　　分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。唐老师给大家总结了常见的分数裂项的两种形式，下面我们将一一讲解：

　　一、“裂差”型运算

　　将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细地观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

　　

　　(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即a乘b的倒数形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a<b，那么有

　　

　　(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

　　

　　裂差型裂项的三大关键特征：

　　（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

　　（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

　　（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

　　

　　二、“裂和”型运算：

　　常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

　　

　　只要掌握以上列项的特点以及裂项的形式，那么在具体的操作题型当中，同学们只要注意观察，发现这样的变化形式做题就可以找到思路。

　　

　　本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有

　　

　　【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

　　

　　也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n+3，所以

　　

　　【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：

　　

　　这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知5=2+3,7=3+4……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

　　

　　分数裂项的计算，主要鱼里上的两种形式变化，但其变化的多样性。也对同学们的计算能力和观察能力提高提出了更高的要求，在后续的视频当中，唐老师会针对每一种形式给大家进行猎象的变化讲解，希望有感兴趣的同学继续关注唐老师，学习更多的列项技巧。

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